Niveau 2nd help devoir !

[Shanazilb]

Bonjour je suis éleve en 2nd j'ai un devoir à rendre mais je n'ai pas bien compris.
Voici l'énoncé
le but de ce devoir est de démontrer que racine de 2 n'est pas une fraction. Une autre façon de dire cela c'est que R privé de Q soit que racine de 2 est irrationnel. Je croie qu'il faut utiliser le "raisonnement absurde" c'est ce que le prof nous a dit mais je ne l'ai jamais vue.
On suppose qu'il existe a sur b une fraction irréductible telle que racine de 2 = a sur b
question 1 A quel ensemble appartient a et b et ppourquoi
question 2 Pourquoi peut on supposer que cette fraction est irréductible ?
Merci d'avance pour votre aide ! Même si vous ne pouvez pas répondre a la userions si vous pouvez me donner une direction quelconque que parce que la je sais vraiment pas par ou aller

[titine]

http://homeomath.imingo.net/absurde1.htm

[Elizabet]

le but de ce devoir est de démontrer que racine de 2 n'est pas une fraction. Une autre façon de dire cela c'est que R privé de Q soit que racine de 2 est irrationnel. Je croie qu'il faut utiliser le "raisonnement absurde" c'est ce que le prof nous a dit mais je ne l'ai jamais vue.
On suppose qu'il existe a sur b une fraction irréductible telle que racine de 2 = a sur b
question 1 A quel ensemble appartient a et b et ppourquoi
question 2 Pourquoi peut on supposer que cette fraction est irréductible ?

Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle.

Supposons qu'il existe : , avec p et q premiers entre eux : d'où . Comme est un multiple de 2 ou 2 divise et 2 divise p.

Comme 2 divise p , il existe un entier naturel p' tel que alors et

on a : d'où d'où est un multiple de 2 ou 2 divise donc 2 divise q.

2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec: p et q sont premiers entre eux.

[Robic]

Oui mais là tu dis tout et ça concerne la suite, pas les questions de Shanazilb !

Shanazilb : peux-tu recopier la définition de "fraction irréductible" ? Si oui, ça te donnera la réponse à la question 1.

Pour la question 2, le point clé est qu'une fraction non irréductible peut être simplifiée (tu vois pourquoi ?). Donc la fraction a/b est soit irréductible, soit simplifiable en une fraction qui est soit irréductible, soit simplifiable en une fraction qui est soit irréductible, soit simplifiable etc. Si tu as compris le raisonnement, il reste à l'expliquer clairement (ce que je n'ai pas fait pour ne pas faire tout le boulot...)

[Shanazilb]

Oui mais là tu dis tout et ça concerne la suite, pas les questions de Shanazilb !

Shanazilb : peux-tu recopier la définition de "fraction irréductible" ? Si oui, ça te donnera la réponse à la question 1.

Pour la question 2, le point clé est qu'une fraction non irréductible peut être simplifiée (tu vois pourquoi ?). Donc la fraction a/b est soit irréductible, soit simplifiable en une fraction qui est soit irréductible, soit simplifiable en une fraction qui est soit irréductible, soit simplifiable etc. Si tu as compris le raisonnement, il reste à l'expliquer clairement (ce que je n'ai pas fait pour ne pas faire tout le boulot...)

Je suis aller voir mon proffesseur aujourd'hui et il m'a aider pour la question 1 en me disant que ce sont des entiers naturels donc qu'ils appartiennent a l'ensemble de nombre N, j'ai une question, comment le prouver ?
Je suis désole je n'ai pas compris ton raisonnement pour la question 2 ça te dérangerais de réexpliquer ? Merci encore

[Robic]

(oups, fausse manoeuvre)

[Robic]

Pour la question 1, il n'y a rien à prouver ! En fait ça vient de la définition. Et donc je répète ma question : peux-tu recopier la définition d'une fraction irréductible ?

Pour la question 2, le point clé est qu'une fraction non irréductible peut être simplifiée. En fait, c'est parce qu'une fraction réductible ne peut pas être simplifiée (vu que les nombres de la fraction sont premiers entre eux).

(Au cas où tu aurais une autre définition de ce qu'est une fraction irréductible, eh bien tu n'avais qu'à la recopier comme je l'avais demandé. Par défaut, je prends la définition que je connais.)

Par exemple 54/5 est une fraction irréductible : on ne peut pas la simplifier puisqu'ils n'ont pas de diviseur commun. Par contre 54/12 est une fraction non irréductible, on peut simplifier par 2 : 54/12 = 27/6. Et 27/12 est une fraction non irréductible : on peut simplifier par 3 : 27/6 = 9/2. Cette fois, 9/2 est irréductible.

Donc quand on a une fraction (de nombres entiers), de deux choses l'une :
- soit elle est irréductible ;
- soit elle ne l'est pas, mais on peut toujours la simplifier jusqu'à ce qu'elle le devienne (pourquoi fini-t-on, à force de simplifications, à obtenir une fraction irréductible ?)

C'est ça le point de départ du raisonnement de la question 2.

[Shanazilb]

J'ai compris ta manip mais j'ai pas compris comment le prouver avec l'exemple qui est donné
a/b, une fraction irréductible telle que racine de 2 = a/b
????
Ah et voici ma définition d'une fraction irréductible : une fraction irréductible est une fraction simplifie le plus possible. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premier entre eux
Merci pour ta réponse !

[Robic]

OK, donc on a la même définition.

Pour la question 2, il faut juste expliquer pourquoi une fraction quelconque (ayant des nombes entiers au numérateur et dénminateur) peut obligatoirement s'écrire sous forme irréductible. C'est le cas parce que si elle n'est pas irréductible, on peut la simplifier. Et si la fraction simplifiée n'est toujours pas irréductible, on la re-simplifie. Et ainsi de suite : le processus s'arrête forcément puisque... puisque... ah, je ne vais quand même pas tout dire... :we: