Les suites

[saoca]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider a résoudre la question 2 et la question 3 svp.

voici l'énoncer:

Soit la suite U définie sur N par U0 = 1 et pour tout entier n, Un+1=2Un+1-n et la suite S définie sur N par:

Sn= U0+U1+...+Un

2) Démontrer que pour tout entier Un= 2^n+n
3) en déduire l'expression de Sn en fonction de n.

merci d'avance

[mcar0nd]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider a résoudre la question 2 et la question 3 svp.

voici l'énoncer:

Soit la suite U définie sur N par U0 = 1 et pour tout entier n, Un+1=2Un+1-n et la suite S définie sur N par:

Sn= U0+U1+...+Un

2) Démontrer que pour tout entier Un= 2^n+n
3) en déduire l'expression de Sn en fonction de n.

merci d'avance

Salut, pour la première question, as-tu essayé un raisonnement par récurrence?

[nodjim]

Si Un+1=2*Un+1-n et U0=1
U1=2+1-1=2
U2=4+1-2=3
U3=6+1-3=4
U4=8+1-4=5
etc..
C'est l'énoncé qui est mal posé ?

[saoca]

Si Un+1=2*Un+1-n et U0=1
U1=2+1-1=2
U2=4+1-2=3
U3=6+1-3=4
U4=8+1-4=5
etc..
C'est l'énoncé qui est mal posé ?

en faite il faut démontre Un= 2^n+n

[nodjim]

Ben oui, mais tu vois bien que ça ne marche pas avec ton énoncé de départ, ou alors j'ai mal interprété ton écriture.

[saoca]

Salut, pour la première question, as-tu essayé un raisonnement par récurrence?

Donc selon toi il faut faire:

Initialisation:

pour n=1 U0= 1 et Un=2^0+0=1
donc la propriété est vérifié

Récurrence:

supposons que Un+1= 2Un +1-n et Un=2^n+n
démontrons Un+1=2^n+1+n+1

Un+1=2Un+1-n
=2(2^n+n)+1-n
=4^n+2n+1-n
=4^n+n+1
=puis bloquer

[saoca]

Ben oui, mais tu vois bien que ça ne marche pas avec ton énoncé de départ, ou alors j'ai mal interprété ton écriture.

tu peut m'aider a trouver Sn en fonction de n

[capitaine nuggets]

Salut !

.

1°) Raisonne par récurrence.
Vérifie que .
Suppose que pour un certain rang , . Montre alors que pour le rang , on a :+++:

2°) .

- est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc tu peux la calculer ;

- Pour , soit tu connais la formule (ou un moyen rapide de le montrer), ou tu peux voir cette somme comme une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

:king:

[saoca]

Salut !



1°) Raisonne par récurrence.
Vérifie que .
Suppose que pour un certain rang , . Montre alors que pour le rang , on a :+++:

2°) .

- est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc tu peux la calculer ;

- Pour , soit tu connais la formule (ou un moyen rapide de le montrer), ou tu peux voir cette somme comme une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

:King:

q= Un+1/Un
=2^n+1/2^n
=2
et
R=Un+1-Un
=n+1-n
=1

[busard_des_roseaux]

Si Un+1=2*Un+1-n et U0=1
U1=2+1-1=2
U2=4+1-2=3
U3=6+1-3=4
U4=8+1-4=5
etc..
C'est l'énoncé qui est mal posé ?

bonjour,
il y a une erreur dûe au décalage entre l'indice à gauche et le terme à droite

Donc selon toi il faut faire:

Récurrence:

supposons que Un+1= 2Un +1-n et Un=2^n+n
démontrons Un+1=2^n+1+n+1

Un+1=2Un+1-n
=2(2^n+n)+1-n
=4^n+2n+1-n
=4^n+n+1
=puis bloquer

en fait, l'énoncé est juste, et la difficulté provient d'erreurs de calculs.

[busard_des_roseaux]

je me suis demandé: comment trouver la formule pour s'ils ne l'avaient pas donnée dans l'énoncé ?

on part de

c'est une progression géométrique de raison et un polynôme en qui restera un polynôme si on le multiplie ou qu'on le divise par 2

on cherche donc un polynôme P "point fixe" qui vérifie






(P(n+1) et 2P(n) ont le même degré)

en cherchant






La suite de terme général est géométrique de raison et de 1er terme 1

[saoca]

je me suis demandé: comment trouver la formule pour s'ils ne l'avaient pas donnée dans l'énoncé ?

on part de

c'est une progression géométrique de raison et un polynôme en qui restera un polynôme si on le multiplie ou qu'on le divise par 2

on cherche donc un polynôme P "point fixe" qui vérifie






(P(n+1) et 2P(n) ont le même degré)

en cherchant






La suite de terme général est géométrique de raison et de 1er terme 1

et pour Sn en fonction de n

[capitaine nuggets]

2°) .

- est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc tu peux la calculer ;

- Pour , soit tu connais la formule (ou un moyen rapide de le montrer), ou tu peux voir cette somme comme une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

:king:

Hé ben, c'est quoi ça ? :ptdr:
Tu as tout ce qu'il faut pour trouver :lol3:

[saoca]

poi j'ai trouver q= 2 et r=1
Vn= 2^n et Un= n

[busard_des_roseaux]

est une somme de termes

chaque terme de la somme est somme de et de .

on somme séparemment les (formule de progression géométrique) et les (formule de progression arithmétique)

[saoca]

et c'est quoi la formule d'une suite arithmétique ?

[busard_des_roseaux]

[saoca]

et géométrique ?

[busard_des_roseaux]

[saoca]

donc Sn en fonction de n égale:

Sn= (1-2^n+1)/1-2) + n(n+1)/2