Espace vectoriel

[maths-in]

Hello
J'aurai besoin dun petit peu daide

Soit y(t) = C cos(wt) + D sin(wt)
W constante et C et D reels arbitraires
Montrer que lensemble des fonctions du type y(t) est un espace vectoriel


alors je bugg des le debut vu qu un espace vectoriel doit contenur le vecteur nul alors que y(0) = D

[Monsieur23]

Aloha,

Ici, les vecteurs sont des fonctions : le vecteur nul dans ce cas est donc la fonction nulle.

[maths-in]

Alors pour l'exercice je dois maintenant demontrer que si u(t) et v(t) s'ecrivent comme y(t) alors u(t) + Bv(t) secrie aussi comme y(t) ?

[Ben314]

Ici, tu as un ensemble de fonctions et il faut se poser la question "c'est quoi le vecteur nul sur un ensemble de fonctions ?"
C'est (évidement) une fonction f et elle doit avoir la propriété que, pour tout fonction g on doit avoir f+g=g. C'est donc la "fonction nulle", c'est à dire celle définie par f(t)=0 pour tout t.
Cette fonction fait-elle partie des fonction que l'on peut écrire C cos(wt) + D sin(wt) ? (avec C et D reels arbitraires )

[Monsieur23]

Si tu fais ça, tu auras montré que ton espace est un sous-espace vectoriel de quelqu'un… de qui ?

[maths-in]

Euh bonne question ? je ne sais pas

[Monsieur23]

Qu'est ce que tu connais comme espace vectoriel en rapport avec les fonctions ?

Sinon, il faut que tu montres directement que c'est un espace vectoriel (c'est-à-dire un groupe, muni d'une loi externe, distributive, etc.)

[maths-in]

D'accord

et pour cet exercice

H et K 2 sous espaces vectoriel de V , on apelle somme de H et K : H+K l'ensemble des vecteurs V qui secrivent comme somme de deux vecteurs lun appartenant a H et l'autre a K

Montrer que H+K est un ss espace vectoriel de V

soit W1 = u1+v1 avec u1 appartient a H et v1 a K
W2 = u2 +v2

w1 + Bw2 = (u1+v1) + B ( u2 + v2)

Pour moi la j'ai montre que H+K est un sous espace vectoriel de V

Montrer que H et K sont des sous espaces vectoriels de H+K

H = vect(u)
K=vect(v)

H+K = u+v = vect(u,v)
donc H sous espace de H+K

[Monsieur23]

D'accord

et pour cet exercice

H et K 2 sous espaces vectoriel de V , on apelle somme de H et K : H+K l'ensemble des vecteurs V qui secrivent comme somme de deux vecteurs lun appartenant a H et l'autre a K

Montrer que H+K est un ss espace vectoriel de V

soit W1 = u1+v1 avec u1 appartient a H et v1 a K
W2 = u2 +v2

w1 + Bw2 = (u1+v1) + B ( u2 + v2)

Pour moi la j'ai montre que H+K est un sous espace vectoriel de V

Montrer que H et K sont des sous espaces vectoriels de H+K

H = vect(u)
K=vect(v)

H+K = u+v = vect(u,v)
donc H sous espace de H+K

C'est ok pour le premier.

Pour le deuxième, tu n'as pas nécessairement H = vect u.
I faudrait que tu fasses comme dans le premier cas :
— montrer que H inclus dans H+K
— montrer que H stable par combinaison linéaire
— idem pour K