Congruences

[maths699]

Bonjour , Pourriez vous m'aidez svp?

Soit p un nombre premier et a,b des entiers
1)Montrer que le coefficient binomial "p parmi i" est divisible par p pour tout entier i avec 02)Montrer que (a+b)^p congru à a^p +b^p (mod p)
3)Montrer par recurrence sur n que n^9-n est divisible par p pour tout entier n
4)Supposons de plus que n n'est pas multiple de p. Montrer que n^(p-1) congr 1(mod 8)

je n'arrive pas pour la 2) et la 4)

[fatal_error]

slt,

pour 1) ca serait pas plutot:
"i parmi p" est divisible par p pour tout entier i avec 0<i<p

du coup pour la 2) t'écris le binome de newton et ya plein de termes qui sont divisibles par p.

[fatal_error]

quant à 4) il semblerait que ton énoncé soit encore faux...
si on prend n=2, p=5, p premier

n^(p-1)=2^4=16
or 16 est divisible par 8...

[maths699]

euh ou désolé c'est n^(p-1) congr 1(mod p)

[fatal_error]

une dem un peu byzarre...


Pour démontrer le dernier résultat, on peux utiliser la propriété démontrée en 2).

genre

de même avec
idem on peux ecrire et on peut noter que u_n respecte la relation de récurrence suivante


et on obtient

Du coup il reste à démontrer que si n non multiple de p on a


n non multiple de p implqiue
edit coquille. 0^p = 0...non 1

[maths699]

Merci beaucoup