Probabilités

[Shizangen]

Bonjour je suis bloqué sur cette exercice

Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur la chaîne de production.

La probabilité que, durant une journée, un incident se produise est 1/10.

Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, dans une journée:
- La probabilité que l'alarme se déclenche et qu'il n'y ait pas eu incident est 1/50.
- La probabilité qu'un incident survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est de 1/500.

On notera A l'événement : "l'alarme se déclenche" et I l'événement : "un incident se produit".

Les probabilités demandées dans la suite seront données
chiffres après la virgule.

Partie A:

1) a. Calculer la probabilité que, dans une journée un incident survienne et que l'alarme se déclenche.
b. En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.
2) Déterminer la probabilité que le système soit mis en défaut.
3) Déterminer la probabiltié qu'un incident se soit produit sachant que l'alarme s'est déclenchée.
4) Compléter avec les probabilités correspondantes l'arbre pondéré suivant:



Partie B:

Les assureurs estiment qu'en moyenne, coût des anomalies est le suivant:
- 10 000 € pour un incident lorsque l'alarme fonctionne
- 15 000 € pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas
- 100 € lorsque l'alarme se déclenche et qu'il n'y a pas d'incident.

On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
X désigne la variable aléatoire représentant le coùut journalier des anomalies pour l'entreprise.
1) Donner la loi de probabilité de X
2) Déterminer l'esprérance de X
3) Que représente cette espérance pour l'entreprise ?

[titine]

Traduis les données chiffrées que tu as en terme de proba.

On te demande P(I inter A)
On sait que P(I) = P(I inter A) + P(I inter Abarre)

[Shizangen]

P(i) = 1/50 + 1/500

[titine]

Traduction des données en terme de probabilités :

La probabilité que, durant une journée, un incident se produise est 1/10.

P(I) = 1/10

La probabilité que l'alarme se déclenche et qu'il n'y ait pas eu incident est 1/50.

P(A inter Ibarre) = 1/50
Ibarre étant l'évènement contraire de I.

La probabilité qu'un incident survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est de 1/500.

P(I inter Abarre) = 1/500

[titine]

P(I) = P(I inter A) + P(I inter Abarre)
Donc ....................(remplace par ce qu'on sait)

[Shizangen]

P(I) = P(I inter A) + P(I inter Abarre)
Donc ....................(remplace par ce qu'on sait)

Le problème pour moi c'est A, car je ne connais pas sa probabilité, mais je tente: P(I) = 1/10 + 1/500

[Shizangen]

Je veux dire P(I inter Abarre) = 1/500 mais je n'ai pas d'info sur P(I inter A)

[titine]

Relis bien ce que j'ai écrit plus haut dans traduction des données

[Shizangen]

Vous allez surement vous enever xD mais c'est le seule truc que je vois : P(I) = P(I inter A) + P(I inter Abarre) = 1/500 + 1/500. :peur:

[titine]

On a donc :
P(I) = 1/10
P(A inter Ibarre) = 1/50
P(I inter Abarre) = 1/500
Ça se sont les données.
D'accord ?

Et on sait que P(I) = P(I inter A) + P(I inter À barre) (propriété des probabilités totales)
Donc en remplaçant par les données : 1/10 = P(I inter A) + 1/500
D'où P(I intdr A) = .......

[Shizangen]

merci ! ok l'équation, j'y avais pensé mais rohh : P(I intdr A) = 1/500 - 1/10 = -49/500

[titine]

merci ! ok l'équation, j'y avais pensé mais rohh : P(I intdr A) = 1/500 - 1/10 = -49/500

Une pro à négative ???

Ne serait ce pas plutôt P(I inter A) = 1/10 - 1/500 ?

[Shizangen]

a) p(IinterA) = 49/500
b) p(A) = 0.802

[Shizangen]

2) 1/50 + 1/500 = 11/500 (0.2)

[titine]

a) p(IinterA) = 49/500
b) p(A) = 0.802

P(A) = P(A inter I) + P(A inter Ibarre) = 1/50 + 49/500

[titine]

Probabiltié qu'un incident se soit produit sachant que l'alarme s'est déclenchée :
P(A inter I)/P(A)

[Shizangen]

P(A) = P(A inter I) + P(A inter Ibarre) = 1/50 + 49/500 = 59/500

P(A inter I)/P(A) = (1/50)/(59/500) = 10/59

pour la 4) je dois trouver Ibarre et Abarre afin de compléter l'arbre, j'imagine que je dois appliquer p(Ibarre) = 1-p(I) = 1-1/10 = 9/10 et p(Abarre) = 1-p(A) = 1-59/500 = 441/500

Merci beaucoup,

Partie B

J'ai A = 10 000, Abarre = 15 000 et (A inter Ibarre) = 100


1. p(X=xi)

[Shizangen]

pardon j'ai confondu c'est l'espérance que je viens de calculer du coup voici la loi de prob X

[Shizangen]

Est-ce que vous pourriez me dire si c'est juste svp? Merci.

[titine]

P(A) = P(A inter I) + P(A inter Ibarre) = 1/50 + 49/500 = 59/500

P(A inter I)/P(A) = (1/50)/(59/500) = 10/59

Attention !
On a vu précédemment que P(A inter I) = 49/500
Donc P(I sachant A) = P(A inter I)/P(A) = (49/500)/(59/500) = 49/59