DM suite Terminale S

[Yrbas]

Bonjour, voilà, j'ai un devoir à faire pendant les vacances, je l'ai fini, cependant je bute sur quelque question, les voilas en expliquant le contexte :

1)A partir de la suite Un+1=(1+3Un)/(3+Un) , de terme initiale U0=2 :
En déduire que le suite Un converge:
Info : En sachant que j'ai déjà pu démontrer par récurrence que Un - 1 > 0 et que pour tout entier naturel n, Un+1-Un = ((1-Un)(1+Un))/(3+Un), et j'ai pu à partir de cette forme et en étudiant le signe de cette formule que Un+1>Un donc la suite est croissante.

A vérifier : J'ai l'impression que la forme est indéterminée, donc je cherche une autre forme, je factorise par Un que j'enlève :

Un+1= ((1/Un)+3)/((3/Un)+1)

Donc la limite est: l=3/1=3 car Un étant croissant,la suite tant vers +oo donc en appliquant la fonction inverse cela tend vers 0, on exclu donc 1/Un et 3/Un

Je suis pas sure de la fiabilité de ma réponse, merci de vérifié.

2)A partir de deux nouvelles suites Un+1= (1+0,5Un)/(0,5+Un), de terme initial dont j'ai conjecturé la convergence vers 1 par un algorithme et la suite Vn=(Un-1)/(Un+1) :
a)Je dois montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Un= (1+Vn)/(1-Vn)
b)Déterminer la limite de la suite Un

Infos: J'ai déjà montrer que la suite Vn est géométrique de raison -1/3 de terme initial Vo= 1/3
soit Vn= 1/3 x (-1/3)^n (puissance n = ^n), j'ai aussi démontrer que Vn n'est jamais égale à 1 car Un+1 et Un-1 toujours différent.

A vérifier : Pour ma part la limite de Un est bien 1 car +Vn et -Vn tende eux vers 0 car la raison de la suite gémoétrique q on va dire et tel que -1<q<1 donc d’après le cours elle tend vers 0 on exclue alors les deux formes de Vn de Un on à alors la limite l=1/1 soit 1.

Par contre aucune idée pour le a)

Merci de votre attention.

[landagama]

Dans la question 1, on ne te demande pas la limite de (un) mais juste de montrer qu'elle converge.
Utilise le théorème de la convergence monotone.

Pour la question 3a :
pars de Vn=(Un-1)/(Un+1) <=> vn*(un+1)=un-1 <=> vn*un+vn=un-1 <=>vn+1=un-vn*un (je regroupe les un) <=> vn+1=un(1-vn) (je factorise pas un) <=> un=(vn+1)/(1-vn) ou encore un=(1+vn)/(1-vn).
Dis-moi si tu as compris.
bon courage !

[Yrbas]

Oui j'ai très bien compris ton explication, cependant je n'arrive pas à montrer que la suite Un est convergente car je sais oui qu'elle est croissante cependant je n'ai aucune indication sur le fait qu'elle soit majorée pour en déduire qu'elle converge.

[landagama]

sauf erreur de ma part, ta suite (un) est décroissante (pas croissante) et minorée par 1 (puisque tu as démontré que un-1>0 soit un>1).

[Yrbas]

A d'accord dans ce cas la (1-Un)(1+Un) est négatifs on prend la forme 1-Un² ou comme je l'est démontrer Un>1 donc forcement négatifs, c'etai une erreur de ma part car je prenais la forme (1-Un)².

[Yrbas]

J'ai finie tout le Devoir merci bien

[landagama]

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