Notion Limites et suites

[xNiicO]

Bonjour,

J'ai un gros exos que je trouve assez chiant avec des parties différentes, elles sont indépendantes des autres, c'est juste que le prof n'a pas voulu s'embêter à faire plusieurs exos et il a tout mit dans un seul :zen:

Partie 1 :

Soit une suite à valeurs dans . Prouver que

Indication : On remarque que

---> Réponse : J'ai prouvé que mais je n'arrive pas à prouver que

Je n'arrive pas à avoir une méthode rigoureuse pour le prouver, je pense que j'arrive pas à avoir le petit truc qui me ferait démarrer, ça me parait pas bien compliqué

Partie 2 :



Montrer que pour tout entier n, on a . (On pourra tenter une preuve pas récurrence, avec une proposition de récurrence portant à la fois sur et

Je comprends pas du tout comment faire pas récurrence mais j'ai pu voir sur internet que c'est une suite linéaire récurrente d'ordre 2.
Or, je n'ai jamais vu ça en cours mais j'aimerai si possible que l'on m'explique car la méthode à par l'air dur et ça me faciliterai la vie et en plus j'apprendrai quelque chose

[Maxmau]

Bonjour,

J'ai un gros exos que je trouve assez chiant avec des parties différentes, elles sont indépendantes des autres, c'est juste que le prof n'a pas voulu s'embêter à faire plusieurs exos et il a tout mit dans un seul :zen:

Partie 1 :

Soit une suite à valeurs dans . Prouver que

Indication : On remarque que

---> Réponse : J'ai prouvé que mais je n'arrive pas à prouver que

Je n'arrive pas à avoir une méthode rigoureuse pour le prouver, je pense que j'arrive pas à avoir le petit truc qui me ferait démarrer, ça me parait pas bien compliqué

Partie 2 :



Montrer que pour tout entier n, on a . (On pourra tenter une preuve pas récurrence, avec une proposition de récurrence portant à la fois sur et

Je comprends pas du tout comment faire pas récurrence mais j'ai pu voir sur internet que c'est une suite linéaire récurrente d'ordre 2.
Or, je n'ai jamais vu ça en cours mais j'aimerai si possible que l'on m'explique car la méthode à par l'air dur et ça me faciliterai la vie et en plus j'apprendrai quelque chose

Bj
1/ pose En = Un/(2+Un) et précise Un en fonction de En

[xNiicO]

Est-ce que tu pourrais détailler car je n'ai pas compris le but en fait :(

Je viens de regarder mais même avec ta méthode que j'ai essayer de faire à ma sauce, je n'aboutit pas sur un bon truc ou alors je suis sur une F.I. C'est ce qui me dérange, il doit y avoir une méthode assez facile mais je vois pas comment faire :mur:

[Maxmau]

Est-ce que tu pourrais détailler car je n'ai pas compris le but en fait

Je viens de regarder mais même avec ta méthode que j'ai essayer de faire à ma sauce, je n'aboutit pas sur un bon truc ou alors je suis sur une F.I. C'est ce qui me dérange, il doit y avoir une méthode assez facile mais je vois pas comment faire :mur:

Je pose En =Un/(2+Un) donc en isolant Un on a: Un = 2En/(1-En)
Donc si En tend vers zéro Un aussi ( 2En tend vers zéro et (1-En) tend vers 1)

[busard_des_roseaux]

pour la (2), tu peux remarquer que la suite de terme général
est arithmético-géométrique, la calculer, puis calculer par télescopie

[xNiicO]

pour la (2), tu peux remarquer que la suite de terme général
est arithmético-géométrique, la calculer, puis calculer par télescopie

Je n'ai absolument aucune notion sur les suite arithmétic-géométrique, j'ai pu vu voir sur le net un peu comment c'est fait, j'ai pu voir que c'est de la forme mais je ne vois pas comment on peut faire avec un

PS : J'ai compris pour la méthode merci bien, c'était moi qui savait pas tout bêtement isolé Un :marteau:

[Maxmau]

Par récurrence
(Pn) la propriété "Un =2^n + 1 et Un+1 = 2^(n+1) + 1 "
(P0) est vraie (à vérifier)
et si (Pn) est vraie alors (Pn+1) est également vraie (à vérifier)

Tu peux alors conclure que (Pn) est vraie pour tout n. D'où Un = 2^n +1 pour tout n

[Ben314]

A mon avis, pour le II), le plus simple est de suivre l'indication donné : faire une récurence.
La "petite" difficulté, ici, c'est que vu qu'il faut connatre les DEUX termes précédent pour calculer un terme donné de la suite, la proposition Pn que l'on va démontrer par récurence doit parler de DEUX termes de la suite et pas uniquement d'un seul.
Je n'en met pas plus, vu que je vient de voir le post de Maxmau qui contient... ce que je m'apprétait à taper....

[xNiicO]

J'ai suivit vos aides.

J'ai vérifié au rang 0, cela marche bien, pas besoin de l'écrire ici, sur mon papier ça marche :ptdr:

On suppose donc que et sont vraies au rang n.

On cherche donc à savoir si au rang suivant qui est n+1, si cela est vraie aussi donc on a :

et

est supposé vraie donc pas besoin de le prouver.

reste à prouver, mais on sait aussi que suffit de remplacer les valeurs de et de et on aboutit bien sur la valeur à prouver de je l'ai bien prouvé par calcul, merci de l'aide, c'était juste le début de la récurrence qui me bloqué, je pensais pas qu'on pouvait partir de deux termes à prouver.

[tsu]

pour la première question
on a lim Un/2+Un=0
d'autre part Un/2+Un=1-(2/2+Un) alor lim 1-(2/2+Un)=0 donc lim (2/2+Un)=1 cequi veut dire que lim 2+Un= 2 et ainsi lim Un=0