Sous espace stable, dualité

[nino00]

Bonjour,
je viens de démontrer ceci
"F stable par f" ssi "F orthogonal stable par la transposée de f" en dimension finie et ils nous demandent est ce qu"il est vrai en dimension infinie je pense que ce n'est pas vrai mais il me faut un contre exemple si c'est possible
Merci d'avance :lol3: .

[arnaud32]

regarde dans ta demonstration, a quel moment utilisies tu la dimensuion finie?

[Ben314]

Personellement, j'ai un petit problème concernant le SENS de la question dans le cas d'un espace vectoriel de dimension infini : qu'entend tu par "la transposée de f" dans ce cas là ?
A mon sens, la notion de "transposé" s'applique à des matrices et la notion de matrices de dimension infinie n'a pas trop de sens si on ne donne pas des conditions suplémentaires sur les coeffs.
Aprés, si tu parle d'endomorphisme, on parle plutôt "d'opérateur adjoint" mais, contrairement au cas fini, il n'y a pas forcément d'isomorphisme entre l'espace E et son dual E' (sauf hypothése suplémentaires sur E...) donc la notion d'orthogonal devient assez différente de celle du cas fini.

Juste pour te donner un exemple, si E est l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R et F le s.e.v. des fonctions dérivables de R dans R, tu défini comment l'orthogonal de F ? (c'est une partie de quoi ?)

[nino00]

désolé je me suis trompé ceci est vrai le cas infinie aussi
merci pour votre attention quand meme :lol3:

[nino00]

Personellement, j'ai un petit problème concernant le SENS de la question dans le cas d'un espace vectoriel de dimension infini : qu'entend tu par "la transposée de f" dans ce cas là ?
A mon sens, la notion de "transposé" s'applique à des matrices et la notion de matrices de dimension infinie n'a pas trop de sens si on ne donne pas des conditions suplémentaires sur les coeffs.
Aprés, si tu parle d'endomorphisme, on parle plutôt "d'opérateur adjoint" mais, contrairement au cas fini, il n'y a pas forcément d'isomorphisme entre l'espace E et son dual E' (sauf hypothése suplémentaires sur E...) donc la notion d'orthogonal devient assez différente de celle du cas fini.

Juste pour te donner un exemple, si E est l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R et F le s.e.v. des fonctions dérivables de R dans R, tu défini comment l'orthogonal de F ? (c'est une partie de quoi ?)

l'orthogonal de F est dans E*=L(E,K)
={f appartient à E* / f(x)=0 pour tout x dans F}

[nino00]

regarde dans ta demonstration, a quel moment utilisies tu la dimensuion finie?

je l'utilise dans le sens indirecte mais j ai trouvé une autre démonstration qui ne demande pas l'utilisation de la dimension finie
Merci.

[Ben314]

l'orthogonal de F est dans E*=L(E,K)
={f appartient à E* / f(x)=0 pour tout x dans F}

Dans ce contexte là (dual algébrique) effectivement le resultat reste vrai, mais le résultat est en général faux dans le contexte des espaces préhilbertiens avec le dual topologique.

[nino00]

Dans ce contexte là (dual algébrique) effectivement le resultat reste vrai, mais le résultat est en général faux dans le contexte des espaces préhilbertiens avec le dual topologique.

D'acord je vous remercie Ben314 :we: .