Exercice : Bijective / application réciproque

[Mathsuperieur]

Bonjour a tous ! Voila je suis en plein DM de vacances (prépa ECE en 1 ere année) et je recherche un peu de lumiere ...

Voila mon exercice :
Soit f: N => Z , application définie pour tout n de N par f(n) = n/2 si n est pair
par f(n) = -((n+1)/2) si n est impair
a) calculer f(1) , f(2) f(3) .... f(6)
Pour ca aucun probleme ! :zen:

b) prouver que f est bijective
c) exprimer son application réciproque ..

donc pour la b) et la c) je bloque vraiment

je sais qu'une fonction bijective c'est si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent mais malheureusement je n'arrive pas a le démontrer ...

merci d'avance a tous ceux qui m'aideront et bonne journée ! :id:

[beagle]

"si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent "

bah tu commences à montrer qu'il existe un antécedént pour tout élément de Z,
et ensuite tu montres qu'il n' y en a pas deux(que le deuxième est égal au premier).
Tu vois bien que les pairs vont former les positifs et les impairs vont former les négatifs.

[arnaud32]

f surj: tu prends n dans N et tucherche un antecedent
pareil pour n dans -N

f inj: resoud f(p)=f(q)

[Tiruxa]

On peut remarquer que f(n)>=0 si et seulement si n pair
f(n)<0 si et seulement si n impair
Donc en prenant p dans Z , si p >=0 son (ses) éventuel(s) antécédent(s) n ne peut (peuvent) qu'être pair... on le (les) cherche et on en déduit qu'il est unique.
Idem si p <0 , avec n impair.