DM de maths terminale S

[CharlineCoco]

L'énoncé est le suivant:
"Nous admettons qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur R et vérifiant f(0)=0, et pour tout réel x f'(x)=1/(1+x^2).
a) Montrer que la fonction g : x -> f(x)+f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire."
Ma question est la suivante : est-on obligé de calculer f(x)? si oui, comment faire?
J'ai essayé de répondre à la question a) en passant par f'(x).
g'(x)=f'(x)+f'(-x) = 1/(1+x^2) + 1/(1-x^2) = (1-x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) + (1+x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) = (1-x^2)/(1-x^4) + (1+x^2)/(1-x^4) = 2/(1-x^4).
Est-ce bon ce que j'ai fait? Sinon, comment auriez-vous fait pour répondre à la question? Je suis dubitative à mon résultat car je ne vois pas comment répondre à la question b) sans avoir calculé f(x). Je serais reconnaissante de toute aide. Merci d'avance.

[Sylviel]

En fait tu as fait une erreur de dérivation.

Si h(x)=f(-x), que vaut h'(x) ? (en fonction de la dérivée de f)

[CharlineCoco]

[quote="Sylviel"]En fait tu as fait une erreur de dérivation.

Si h(x)=f(-x), que vaut h'(x) ? (en fonction de la dérivée de f)[/QUOTE

donc la dérivée de f(-x) n'est pas 1/(1-x^2)?

[Sylviel]

Non, et tu n'as pas répondu à ma question :hum:

[CharlineCoco]

ah il faut travailler avec fog, non?

[capitaine nuggets]

Salut !

L'énoncé est le suivant:
"Nous admettons qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur R et vérifiant f(0)=0, et pour tout réel x f'(x)=1/(1+x^2).
a) Montrer que la fonction g : x -> f(x)+f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire."
Ma question est la suivante : est-on obligé de calculer f(x)? si oui, comment faire?
J'ai essayé de répondre à la question a) en passant par f'(x).
g'(x)=f'(x)+f'(-x) = 1/(1+x^2) + 1/(1-x^2) = (1-x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) + (1+x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) = (1-x^2)/(1-x^4) + (1+x^2)/(1-x^4) = 2/(1-x^4).
Est-ce bon ce que j'ai fait? Sinon, comment auriez-vous fait pour répondre à la question? Je suis dubitative à mon résultat car je ne vois pas comment répondre à la question b) sans avoir calculé f(x). Je serais reconnaissante de toute aide. Merci d'avance.

Ce genre d'exo est classique : On manipule la dérivée (connue) d'une fonction (inconnue) dont on ne cherchera pas à l'exprimer.
(Normal de mon point de vue puisque la fonction donnée par f n'est pas au programme du lycée).

a) On a . Que vaut la dérivée de ? De ?
Tu en déduis alors la dérivée de g :++:
b) Si alors .
Aide pour la parité : La courbe représentative d'une fonction admet, dans un repère orthogonal, le point pour centre de symétrie si et seulement si quel que soit , et .
Or ici, est bien définie sur et est impaire si et seulement sa courbe représentative admet l'origine pour centre de symétrie.
Je te laisse conclure :+++:

Remarque : représente la fonction arctan et on la note : .
Elle représente la bijection réciproque de la fonction tan restreinte à l'intervalle .

[CharlineCoco]

Je trouve f'(-x)= (1/1+x^2))² pour la dérivée de f(-x) , mais cela me parait bizarre, j'ai vraiment du mal avec les dérivées des fonctions composées :/

[CharlineCoco]

ou alors f'(-x) = -1/(1+x^2)

[capitaine nuggets]

Salut !

tu as dû voir une formule pour calculer la dérivée de la composée d'une fonction par une autre :
.
Pour calculer la dérivée de , pose :+++:

[CharlineCoco]

Salut !

tu as dû voir une formule pour calculer la dérivée de la composée d'une fonction par une autre :
.
Pour calculer la dérivée de , pose :+++:

On n'a pas encore vu cette formule en cours mais j'ai essayé et j'ai trouvé f'(x) = -1 * (-1/(1+x^2))= 1/(1+x^2)