Polynôme constant

[hsina]

Bonjour,
j'ai un problème avec une question dans un exercice traitant des polynômes complexes
on a pour a dans C et r un réel strictement positif D(a,r)={z dans C / |z-a|< ou= r}
pour n nbres complexes a0...an-1 et pour tout z dans P(z)=somme(k=0à n-1)ak*z^k
P est cst ssi a1=...=an-1=0

J'ai déjà montré que
1/n*somme (k=0à n-1)|P(e^2ikpi/n)|²)=somme(j=0 à n-1)(|aj|²)
et pour r un réel
1/n*somme(k=0 à n-1)|P(re^2ikpi/n)|2)=somme(j=0 à n-1)|aj|²*r^2j)

On suppose maintenant (seulement cette question) que pour tout z deD(0,1), |P(z)|=1
Que peut on dire de l"application
[0;1] --> R
r ---> somme(j=0à n-1)|aj|²*r^2j) ?
En déduire que P est constant

J'ai pu dire que l'application était égale à 1 donc constante mais je ne vois pas le rapport avec P constant ou pas
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?
Merci

[Maxmau]

Bonjour,
j'ai un problème avec une question dans un exercice traitant des polynômes complexes
on a pour a dans C et r un réel strictement positif D(a,r)={z dans C / |z-a| R
r ---> somme(j=0à n-1)|aj|²*r^2j) ?
En déduire que P est constant

J'ai pu dire que l'application était égale à 1 donc constante mais je ne vois pas le rapport avec P constant ou pas
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?
Merci

Bj
Ton application est constante égale à 1
Que donne r=0 et r=1 ?

[hsina]

Bj
Ton application est constante égale à 1
Que donne r=0 et r=1 ?

Si r=0, la somme est nulle, si r=1, on somme de k=0 à n-1 le module au carré des aj
mais ça ne m'avance en rien, je dois déduire que les coefficients sont tous nuls...

[Maxmau]

Si r=0, la somme est nulle, si r=1, on somme de k=0 à n-1 le module au carré des aj
mais ça ne m'avance en rien, je dois déduire que les coefficients sont tous nuls...

r=0 donne |a0|² = 1
r=1 donne |a0|² +|a1|² +|a2|² ............+|a(n-1)|²=1
d'où l'on déduit: |a1|² +|a2|² ............+|a(n-1)|²= 0
là je te laisse terminer.....

[Maxmau]

J'ajoute que lorsque des nombres positifs ou nuls ont une somme nulle, ces nombres sont tous nuls.

[hsina]

dans cette deuxième partie, je n'ai pas très bien compris la signification d'une donnée:
-On dit que P vérifie la propriété S si et seulement si P^-1(D(0,1))=D(0,1) (P^-1(D(0,1)) désignant l'image réciproque de D(0,1) par P)
c'est cette image réciproque que j'ai du mal à assimiler...D(0,1) veut dire qq soit z|, z|<= 1, mais je ne saisis pas la signification de son image réciproque par P.
Merci pour votre aide