Trigonométrie : identité et formules

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Jenny0801
Membre Naturel
Messages: 17
Enregistré le: 30 Sep 2013, 12:37

Trigonométrie : identité et formules

par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 16:12

Bonjour, je cherche à vérifier une identité : (X = multiplié par)

sin 2a/1+cos2a X cos a/1+cos a = tg a/2

Merci de votre aide !



Dlzlogic
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Messages: 5273
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par Dlzlogic » 27 Oct 2013, 17:28

Bonjour,
Ce genre d'exercice c'est du calcul.
On remarque qu'il a des expressions avec 2a des expressions avec a et enfin avec a/2.
Il faut avoir un formulaire à portée de la main ou avoir les formules dans la tête.
Pour le signe "multiplier" utilisez plutôt '.' ou '*'.
De toute façon, il n'y a pas de miracle, il faut en avoir fait beaucoup pour être à l'aise avec ça.
Enfin la multiplication et la division étant prioritaire sur l'addition, il manque des parenthèses dans votre relation.

busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
Enregistré le: 24 Sep 2007, 15:50

par busard_des_roseaux » 27 Oct 2013, 18:14

bonjour,

démontre au préalable la formule



pour ce faire: et tu multiplies par haut et bas.

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leon1789
Membre Transcendant
Messages: 5475
Enregistré le: 27 Nov 2007, 17:25

par leon1789 » 28 Oct 2013, 12:51

Contrairement à ce que raconte Dlzlogic, ces identités peuvent être démontrées de manière mécanique, sans formulaire, sans astuce, sans s'exercer pendant des lustres, mais en utilisant simplement et uniquement les deux formules d'Euler qui expriment les cos(...) et sin(...) avec les fonctions exp(i ...)

Et comme l'indique busard_des_roseaux, il faut commencer par chasser les dénominateurs.


Exemples :

tan(x) = sin(2x) / (1+cos(2x) )
car
(1+cos(2x)) . sin(x) = ( exp(3ix) + exp(ix) - exp(-ix) - exp(-3ix) ) / 4i
et
sin(2x) . cos(x) = ( exp(3ix) + exp(ix) - exp(-ix) - exp(-3ix) ) / 4i , c'est-à-dire la même expression !


sin(2a)/(1+cos(2a)) . cos(a)/(1+cos(a)) = tan(a/2)
car
sin(2a) . cos(a) . cos(a/2) = ( exp(7ib) + exp(5ib) + exp(3ib) + exp(ib) - ... ) / 8i où j'ai posé b=a/2 pour davantage de lisibilité
et
(1+cos(2a)) . (1+cos(a)) . sin(a/2) = ( exp(7ib) + exp(5ib) + exp(3ib) + exp(ib) - ... ) / 8i ,
c'est-à-dire la même expression !


Certes, tout cela reste très calculatoire et il ne faut pas paniqué pendant les calculs... :lol3:

 

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