DM pour la rentrée

[soso10]

Bonjour, j'ai un DM de maths pour à la rentrée et j'aimerai savoir si j'ai fait des erreurs dans cet exercice et qu'on me les indique.. Merci d'avance !

Le graphique ci-dessous donne dans un repère orthogonal, la courbe représentative T d'une fonction f définie sur [0 ; +;)[ et dérivable sur cet intervalle. On précise que : l'origine 0 du repère appartient à T, la droite D passant par 0 et par le point B de coordonnées (1 ; 5) est tangente en 0 à T, la tangente au point A d'abscisse 2 de T est parallèle à l'axe des abscisses.



1. En utilisant le graphique et les renseignements donnés ci-dessus :
a) Précisez f(0), f ' (0) et f ' (2).
f(0) = 0 car l'image de 0 est 0,
f ' (0) = 5,
f ' (2) = 0 car la tangente à la courbe représentative T au point d'abscisse A est parallèle à l'axe des abscisses.

b) Précisez le sens de variation de f, dressez son tableau de variation.
Cette fonction est positive sur l'intervalle [0 ; +;)[.
F est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +;)[.

2. On suppose que la fonction f est définie sur [0 ; +;)[ par f(x) = (ax + b), où a,b,c sont trois réels.

a) En utilisant f(0), calculez b.
f(0) = 0 (a 0 + b) = 0
(a + b) = 0 (le deuxième terme est strictement positif donc il ne peux pas être égal à 0)
a + b = 0
b = - a = -1

b) Calculez f ' (x).
f(x) = (ax + b) est de la forme uv avec u(x) = ax + b , u ' (x) = a et v(x) = , v ' (x) = c
f ' (x) = a + (ax +b) c
= (a + ax + b) c
= (a²x+ b) c

c) En utilisant f ' (0) et f ' (2), calculez a et c.
Je sais qu'il faut faire une double équation mais je pense m'être trompé dans le calcul de f ' (x) et je trouve des choses très incohérentes..

[ampholyte]

Bonjour,

Petit problème sur le calcul de b. a*0 = 0 et non a =).



Je te laisse reprendre la suite.

[soso10]

Bonjour,

Petit problème sur le calcul de b. a*0 = 0 et non a =).



Je te laisse reprendre la suite.

Oh erreur d'inattention.. Je regardais mon cours en même temps et je n'ai pas vu ma bêtise, je vous remercie Est-ce que j'ai bien dérivé f(x) ? Car cela me semble étrange comme résultat final..

[ampholyte]

On a :



Car b = 0 =).

[soso10]

Je n'est pas compris, pourquoi c se retrouve devant (ax + b) ?

[ampholyte]

Quand tu as une fonction de la forme uv que tu dérives tu obtiens u'v + uv' or la dérivée de

Donc

[soso10]

Oui j'ai compris ceci, mais ce que je voulais dire c'est qu'on peut déplacer c où on veux ?
Pourquoi est ce que dans c(ax + b) on ne multiplie pas aussi b par c ?

[ampholyte]

C'est comme si tu avais l'expression suivante :

3 * (ax + b) = (ax + b) * 3 c'est exactement la meme expression.

[soso10]

Je comprend mieux, merci
Donc cela reviens au même si je fait :
f'(x) = a + (ax +b)c
= [a + (ax +b)c]
= (a + acx + bc) ?

[ampholyte]

C'est exacte =)

[soso10]

C'est génial je commence enfin à comprendre ! :)
Pour trouver a et c dans la dernière question, il faut que je fasse un système d'équation ?

[ampholyte]

Tout à fait, tu en obtiendras un grâce à f ' (0) et f ' (2),

[soso10]

Le système commence par ça ?
(a + ac + bc) = 5
(a + ac + bc) = 0

Je suis un peu perdue car j'ai un exemple beaucoup plus simple que celui là dans mon cours et là je ne vois pas comment je pourrais résoudre ce système..

[ampholyte]

Tout simplement car tu oublies quelques détails.

car b = 0

Que donne f'(0) = 5 ?

[soso10]

Je ne comprend pas votre question :/

[ampholyte]

On te dit que f'(0) = 5 et f ' (2) = 0

Donc :



Donc a = 5



Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul donc tu peux en déduire c.

[soso10]

Pour être sure de bien comprendre je fait la décomposition de ce que vous me dîtes :

f'(0) = (a + ac 0)
= a
= 1 a
donc a = 5

f'(2) = (5 + 10c)

5 + 10c =0
10c = -5
c = -5/10 = -1/2 c'est cela ?

Et qu'est-ce qu'on fait de l'exponentielle ?