Intégration+séries

[Sourire_banane]

Bonsoir,

J'ouvre ce topic pour les exercices et sujets de concours qui traitent du thème correspondant.
Soit f définie par
Le domaine de définition de f est R car la fonction puissance est définie sur R (je me trompe pas ?)
On me demande de donner les variations de f. Pour ce faire, je calcule
Encore une fois, ai-je le droit d'écrire ainsi ?
Merci d'avance.

[fatal_error]

slt,

en regardant sur le net, pour pouvoir intervertir dérivée et intégrale, d'apres futura il faut pouvoir appliquer le théorême de Leibniz qui dit que ta fonction sous l'intégrale et sa dérivée suivant x doit être continue sur Rx[0,1].
Ici l'intégrande, pad prob
exp(xln(t))*sqrt() sont des produits de fonctions continues et bien définies.
pour les dérivées, ca a l'air good aussi

[Sourire_banane]

slt,

en regardant sur le net, pour pouvoir intervertir dérivée et intégrale, d'apres futura il faut pouvoir appliquer le théorême de Leibniz qui dit que ta fonction sous l'intégrale et sa dérivée suivant x doit être continue sur Rx[0,1].
Ici l'intégrande, pad prob
exp(xln(t))*sqrt() sont des produits de fonctions continues et bien définies.
pour les dérivées, ca a l'air good aussi

Salut fatal_error !
En fait j'ai pas encore vu cette règle en maths mais je l'applique car elle nous est souvent utile en physique. Du coup je sais pas si l'on peut traiter la question par un autre moyen... Enfin je dois sans doute être bête, mais un argument simple sur la décroissance de f1:x->t^{-x} doit suffire pour traiter le pb de la décroissance globale de f. Par contre, je ne vois pas comment le rédiger proprement.

[Skullkid]

Bonsoir, je ne suis pas d'accord avec ton domaine de définition. Par exemple, si tu essayes de calculer f(5), ça donne quoi ?

Ta fonction tombe dans la catégorie de ce qu'on appelle les intégrales à paramètre. Il y a des outils pour les étudier (notamment la règle de Leibniz citée par fatal_error, souvent appelée "dérivation sous le signe intégrale"), mais si tu ne les as pas encore vus, ici tu peux t'en sortir avec la croissance de l'intégrale (si f < g sur I alors int_I(f) < int_I(g)).

Une remarque brachycérophile : en toute rigueur, df/dx est une fonction, pas un nombre. De même, on dérive des fonctions, pas des nombres, donc d(x²+1)/dx, par exemple, ne veut rien dire. Évidemment l'abus de langage à la physicienne est très tentant (et très pratique, et tout le monde l'utilise) mais tant que tu es en apprentissage, évite-le quand tu fais des maths. Sinon tu risques d'être complètement perdu si jamais on t'enseigne du calcul différentiel rigoureusement...

[jlb]

Bonsoir,

J'ouvre ce topic pour les exercices et sujets de concours qui traitent du thème correspondant.
Soit f définie par
Le domaine de définition de f est R car la fonction puissance est définie sur R (je me trompe pas ?)
On me demande de donner les variations de f. Pour ce faire, je calcule
Encore une fois, ai-je le droit d'écrire ainsi ?
Merci d'avance.

Salut, tu peux préciser pour le signe? pour t dans ]0,1], lnt est négatif, non?
il faut aussi étudier la convergence de la fonction en 0, cela va déterminer le domaine de définition, je crois .

[jlb]

Bonsoir,

J'ouvre ce topic pour les exercices et sujets de concours qui traitent du thème correspondant.
Soit f définie par
Le domaine de définition de f est R car la fonction puissance est définie sur R (je me trompe pas ?)
On me demande de donner les variations de f. Pour ce faire, je calcule
Encore une fois, ai-je le droit d'écrire ainsi ?
Merci d'avance.

Bonjour, il y a un pb en 0, il faut discuter de la convergence des l'intégrales .
Sinon, un soucis pour le signe, je crois.

[Sourire_banane]

Merci à tous pour vos conseils !
Je regarderai de nouveau ce problème ce soir.

@Skullkid : Ok pour la méthode. Ce pb est issu du second DS des PC*, qui ont suivi à peu près le même programme que nous en maths depuis le début de l'année. Les intégrales à paramètre on a pas vraiment traité ça, et eux non plus d'ailleurs !
Pour le domaine de définition, je croyais qu'en faisant jouer x sur R, l'exponentielle en base t "t^(-x)" serait définie, j'ai tort ?

@jlb : En effet, la nature de f1:t->t^(-x) dépend de x à un voisinage de 0. Auquel cas si x négatif, on a du 1/t^|x|... Si |x|<1, l'intégrale converge car alors on a (1/t^|x|)*sqrt(1+t) equivalent à 1/t^|x| en 0, qui est un exemple de Riemann convergent.
Etc.

[Skullkid]

Pour le domaine de définition, je croyais qu'en faisant jouer x sur R, l'exponentielle en base t "t^(-x)" serait définie, j'ai tort ?

t^(-x) est certes défini pour tout x réel, mais l'intégrale ne va pas forcément converger, comme l'a dit jlb. Le domaine de f est ]-infini,-1[.

[Sourire_banane]

t^(-x) est certes défini pour tout x réel, mais l'intégrale ne va pas forcément converger, comme l'a dit jlb. Le domaine de f est ]-infini,-1[.

Effectivement, j'ai pas pensé à faire le rapprochement entre convergence de f et valeurs prises par x pour le domaine de définition !

[deltab]

Bonjour.

Résumons un peu tout ça.

t^(-x) est certes défini pour tout x réel, mais l'intégrale ne va pas forcément converger, comme l'a dit jlb. Le domaine de f est ]-infini,-1[.

Ceci a condition que soit une exponentielle de base et donc que et . le problème de définition de la fonction se pose alors aux points .
Pour , l'intégrale est une intégrale définie dépendant d'un paramètre. Comme est continue sur , alors la fonction est définie continue sur .
Pour , l'intégrale est alors une intégrale impropre dépendant d'un paramètre et ne sera définie que si converge. Vu l'équivalence en , , l'intégrale ne sera convergente que si et finalement

[jlb]

Bonjour, des petits soucis dans les intervalles pour cette synthèse. Mais bon, ce n'est que le début de l'exercice, il reste à justifier la dérivabilité.

[jlb]

Salut. Il reste à justifier la dérivabilité, il y a un peu de boulot aussi!!