Exercice d'optimisation

[Mrslou901]

Bonjour (ou bonsoir!)

Je viens de m'inscrire sur ce forum, juste pour vous poser cette question!

J'ai quelques exercices d'optimisation à faire, et ça fait 2 semaines que je planche dessus, sans savoir comment m'y prendre! J'espère vraiment que quelqu'un pourra m'aider, car je n'en peux plus!

Voici l'énoncé de l'exercice:

"Un homme dans un bateau à rame est à 2km du point A le plus proche de la rive (supposons pour simplifier que la rive est une droite); il veut atteindre une maison située en un point B, 6km plus bas sur le rivage par rapport à A. Il projette de ramer jusqu'à un point P qui est entre A et B, à x km du point A, et il parcourra le reste du trajet à pied. Supposons qu'il rame à 3 km/h et qu'il marche à 5 km/h.
Optimiser le temps total t(x) qu'il mettra pour atteindre la maison".

Est-ce que quelqu'un aurait une idée? J'ai fini mes études il y a 2 ans et là, je donne des cours d'appui à une amie qui doit pouvoir faire cet exercice pour sa prochaine évaluation. Je lui ai dit que j'avais quelques difficultés, mais je ne me sens pas de la laisser galérer toute seule...Vous voyez?

J'étais partie sur Pythagore pour trouver la distance entre P et A, mais lorsqu'il a fallu dérivé la fonction, je suis tombée sur x^2, et donc, impossible de trouver de maxima....

J'espère sincérement que quelqu'un pourra m'aider!

[annick]

Bonjour,
que trouves-tu pour t(x) ?
On est bien d'accord, il s'agit du temps total, c'est-à-dire de tr, le temps où il rame ajouté à tp, le temps où il est à pied.
Appelons R le point de départ du bateau.
Que vaut RP ? que vaut donc tr?
Que vaut PB ? que vaut donc tp ?

En relisant ton message, P étant le point d'où il part à pied, je ne vois pas pourquoi tu calcules PA avec Pythagore, puisque PA t'est donné et vaut x.

[Mrslou901]

Bonjour,
que trouves-tu pour t(x) ?
On est bien d'accord, il s'agit du temps total, c'est-à-dire de tr, le temps où il rame ajouté à tp, le temps où il est à pied.
Appelons R le point de départ du bateau.
Que vaut RP ? que vaut donc tr?
Que vaut PB ? que vaut donc tp ?

En relisant ton message, P étant le point d'où il part à pied, je ne vois pas pourquoi tu calcules PA avec Pythagore, puisque PA t'est donné et vaut x.

Merci déjà pour ta réponse! J'étais partie sur la même idée que toi, connaissant la distance AP, seulement, j'avais demandé à cette amie si elle ne pouvait pas avoir une piste de son professeur de math, et après qu'ils aient discuté vite fait, il s'est avéré que la distance x correspond à la projection de AP sur la rive, et ainsi, on ne connaît pas la distance AP. Et ensuite, c'est le professeur qui a parlé qu'il fallait partir avec pythagore. Si je résume un peu le truc, on a affaire à un triangle rectangle avec AP pour l'hypothénuse, 2km pour un côté, et x pour la projection de AP sur la rive.

Est-ce que sachant tu arrives à trouver un nouvelle piste?

[annick]

En prenant les premières hypothèses, j'avais quand même besoin de Pythagore pour calculer RP, R étant le point de départ de ma barque.
Donc j'avais RP²=AR²+AP²=2²+x²=4+x² soit RP=V(4+x²) (V= racine carrée)

Vr=RP/tr=3 donc tr=RP3/=V(4+x²)/3

Vp=PB/tp=5 PB=AB-AP=6-x

Donc :

tp=6-x/5

t=tr+tp=V(4+x²)/3 + (6-x)/5

Il s'agit maintenant de trouver pour quelle valeur de x t est minimal, donc il faut trouver le minimum de cette fonction.

Ceci avec la première hypothèse que tu m'as donnée. A toi de voir, si c'est la deuxième, après discussion avec le prof qui est la bonne et tu suis le même raisonnement.