Nombres complexes TS

[Coco0807]

Bonjour tout le monde :)

J'ai un contrôle sur les nombres complexes à la rentrée et la prof nous a suggéré des exercices pour s'entraîner, mais il y en a un sur lequel je bloque et je ne trouve la correction nulle part.

Soit P la fonction définie sur C par :
P(z)=z4-V2z3-4V2z-16=0

1. Trouver deux nombres réels p et q tels que :
P(z)=(z²+4)(z²+pz+q)

J'ai décidé de développer et je trouve z+pz+4qz²+4pz+4q.
Pour ce qui est de p, c'est pas compliqué, c'est égal à -V2
Mais le q me pose un problème, je n'arrive pas à trouver une valeur qui me permettrai d'obtenir la valeur initiale.
Je pense donc avoir fait une erreur dans le développement, mais je l'ai refais plusieurs fois et je tombe toujours sur le même résultat.
Merci d'avance à ceux qui répondront :)

[mcar0nd]

Bonjour tout le monde

J'ai un contrôle sur les nombres complexes à la rentrée et la prof nous a suggéré des exercices pour s'entraîner, mais il y en a un sur lequel je bloque et je ne trouve la correction nulle part.

Soit P la fonction définie sur C par :
P(z)=z4-V2z3-4V2z-16=0

1. Trouver deux nombres réels p et q tels que :
P(z)=(z²+4)(z²+pz+q)

J'ai décidé de développer et je trouve z+pz+4qz²+4pz+4q.
Pour ce qui est de p, c'est pas compliqué, c'est égal à -V2
Mais le q me pose un problème, je n'arrive pas à trouver une valeur qui me permettrai d'obtenir la valeur initiale.
Je pense donc avoir fait une erreur dans le développement, mais je l'ai refais plusieurs fois et je tombe toujours sur le même résultat.
Merci d'avance à ceux qui répondront

Salut, tu t'es trompé dans le développement.
Reprends le et écrit toutes les étapes avant de regrouper ce qui va ensemble.

[chombier]

IDEE : vérifier que cette factorisation est possible.

Si P(z) peut s'écrire sous la forme (z^2+4) Q(z), cela veux dire que les racines de z^2+4 sont des racines de P(z).

Quelles sont les racines de z^2+4 ?
Ces racines sont-elles aussi des racines de P ?

Sinon, j'ai du mal à lire ta fonction, c'est bien
?

Enfin, les méthodes pour trouver Q(x) :
- développer et regroupes les termes de même degré
- faire une division euclidienne de P par z^2+4
- utiliser deux fois la méthode de Horner avec les deux racines de z^2+4

La plus élégante étant de mon point de vue, la division euclidienne

Celle de Horner est intéressante à faire, il y a pas mal de calcul avec des nombres complexes.

Celle de développer/regrouper est la plus bourrine (c'est très subjectif et en rien péjoratif, toutes ces méthodes sont bonnes).

[Coco0807]

Je me doute que je me suis trompée dans le développement, mais j'ai beau le faire et le refaire, je ne trouve pas où, est-ce que tu pourrais m'indiquer à quel niveau ?

Et chombier, la suite de l'exercice nous fait travailler avec cette factorisation, pense-tu que c'est vraiment nécessaire de vérifier qu'elle est possible ?
Sinon pour ce qui est de la définition de P, c'est bien ça.

[chombier]

Je me doute que je me suis trompée dans le développement, mais j'ai beau le faire et le refaire, je ne trouve pas où, est-ce que tu pourrais m'indiquer à quel niveau ?

Et chombier, la suite de l'exercice nous fait travailler avec cette factorisation, pense-tu que c'est vraiment nécessaire de vérifier qu'elle est possible ?
Sinon pour ce qui est de la définition de P, c'est bien ça.

C'est justement parce que tu as beau le faire et le refaire sans trouver que je te conseille de vérifier que c'est possible. Les erreurs d'énoncé, ça existe.

Bon ceci dit, c'est possible. Montre nous ton les étapes de ton développement et on te dira où tu t'es trompée.

Déjà, quand tu développes (z²+4)(z²+pz+q) , tu multiplies deux polynômes de degré 2. Tu dois trouver un polynôme de degré 4. Ton polynôme z+pz+4qz²+4pz+4q est de degré 2.

[Coco0807]

Oui pardon excusez moi, faute de frappe, je voulais mettre : z^4+pz^3+4qz²+4pz+4q.

[Coco0807]

Et pour le développement :
(z²+4)(z²+pz+q)=
z^4+pz^3+qz²+4z²+4pz+4q=
z^4+pz^3+4qz²+4pz+4q.

[chombier]

Et pour le développement :
(z²+4)(z²+pz+q)=
z^4+pz^3+qz²+4z²+4pz+4q=
z^4+pz^3+4qz²+4pz+4q.

Je vois l'erreur. Tu as simplifié qz²+4z² en 4qz². Ce n'est pas juste. Tu n'as pas le droit de faire ça.

C'est comme si tu écrivait ax+bx = abx (c'est faux, je préfère le redire)

Tu dois factoriser avec z^2.

[Coco0807]

Ah mais oui ! Merci beaucoup pour votre aide ! :)
J'obtiens alors la définition initiale, merci beaucoup.