Algebre linéaire : Matrice et Base

[Zazz]

Bonjour, j'ai quelque difficulté pour une questions d’exercice

Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2 et B=(e1,e2) une base de E.
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est
(1 -1 =A
2 -1)

1 - Calculer A^2
Montrer que f est inversible et calculer son inverse.

Alors ca j'ai fait.
J'ai trouver
(-1 0 =A^2
0 -1)
ensuite j'ai calucler le determinant de A qui est non nul, donc j'en ai deduit que A etait inversible.
et comme A*A= -1(I2)
bah A*(-A)=I2
Donc -A est l'inverse de la matrice A

2- Montrer que la famille B'(e1,f(e1)) est une base de E
Ecrire la matrice de f dans la base B'

C'est pour cette question que je bloque ....

[Joker62]

Hello.

Tu as calculé f(e_1) ?

Comment montrer que deux vecteurs forment une base dans un espace de dimension 2 ?

[Zazz]

f(e1)=1e1+2e2 mais e1 c'est egal a quoi ?
je ne sais pas.. ils faut que la famille de vecteur soit libre et génératrice...

[Joker62]

e1 logiquement c'est (1,0) et e2 c'est (0,1)

Oui libre et génératrice. Mais comme, ils sont deux, il suffit de montrer que e1 et f(e1) forment une famille libre.

[Zazz]

D'accord, donc je fais ca comment ?
Moi je sais juste que la definition de famille libre c'est que toute combinaison linéaire des vecteur = le vecteur nul

[Joker62]

Et bien, on prend alpha et beta, on suppose que

alpha * e1 + beta * f(e1) = 0

et on montre que alpha = beta = 0

Il faut résoudre un système en passant avec les coordonnées si tu ne vois pas d'astuce directe.

[Zazz]

Ah oui d'accord merci. Donc on a :
alpha(1,0)+beta(1,2)=0
on résout et on trouve alpha=béta=0

Et donc pour écrire la matrice A dans la base B' comment je fait ? je l'ai vu plusieur fois ca, mais je n'est jamais commprit :s

[Joker62]

On veut écrire la matrice de f dans la base (e1 , f(e1))

Il faut calculer l'image de chacun de ces vecteurs par f et les exprimer dans cette base.

C'est à dire trouver alpha beta tels que f(e1) = alpha*e1 + beta*f(e1)
et gamma delta tel que f( f(e1) ) = gamma*e1 + delta*f(e1)

[Zazz]

Donc on a
f(e1)=alpha(e1)+beta(f(e1))
f(e1)=alpha(1,0)+beta(1,2)
(1,2)=(alpha + beta , 2beta)
Donc alpha+beta = 1 et 2beta=2
donc alpha = 0 et beta=1

pareil pour l'autre sauf que comment ont détermine f(f(e1)) ?
et ensuite pour écrire la matrice ce seras :
(alpha gamma
beta delta ) ?

Voila, merci beaucoup...

[Joker62]

Tu as montré que A*A = -I2 donc f(f(e1)) = -e1 = -e1 + 0*f(e1)

Pour écrire la base, on met la base sur la gauche et l'image de la base en haut.
On a donc :

.........f(e1)....f(f(e1))
.......(
..e1..( 0...........-1
.......(
f(e1)( 1...........0
.......(......................)

[Zazz]

J'ai compris.
Merci beaucoup :)