Eclaircissements sur le modèle de Minkowski de la géométrie

[Aristarque]

J'ai un problème à résoudre concernant le modèle de l'hyperbole pour la géométrie de Lobatchevski.

Habituellement, pour définir ce modèle pour une géométrie de Lobatchevski de dimension n, on prend un espace de Minkowski de dimension (n+1), de métrique:



Et on considère l'hyperboloide définie par :



que l'on munit de la distance induite par le plongement dans l'espace de Minkowski ambiant.

Alors, on montre que l'espace ainsi construit est un espace de Lobatchevski de dimension n.

VOICI MES QUESTIONS:

1) Que se passe-t-il si on ne précise pas et que l'on prend les deux branches de l'hyperboloide?

2) Que se passe-t-il si on prend l'hyperboloïde :

?

A-t-on toujours un authentique espace de Riemann n-dimensionnel avec une métrique définie positive? ESt-ce toujours un espace de Lobatchevski?