[Terminale S] Suite décimale et convergence

[Macho-Man]

Salut à tous,


Je viens chercher de l'aide ici car je suis un peu pommé, mais je pense néanmoins avoir bien commencé.

Voici l'énoncé :

Considérons la suite (dn) définie par, pour tout n appartenant à N* , Dn = 0,77......77
------------
(n.chiffres.7)

Partie A :

1) a) Pour tout n appartenant à N , et pour tout q appartenant à l'intervalle ]-1;1[, on note Sn =

. Rappeler l'expression de Sn, sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : Dn étant une suite géométrique de raison q, Sn = .

1) b) De même, pour tout P appartenant à [0;n], on note Tn = . Déterminer l'expression de Tn sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : : Tn =

2) Montrer que, pour tout q appartenant à ]-1,1[ , (Sn) et (Tn) sont convergentes quand n tend vers l'infini et donner leurs limites respectives S et T.


Pour cette question, je pensais utiliser les théorèmes relatifs aux suites géométriques (quand Q < 1, quand q = 0, quand q < 0 ) mais je n'en suis vraiment pas sur.

Merci d'avance

EDIT : J'ai avancé et déterminé que la limite de Tn était 0, car |q| < 1. Mais je ne sais pas comment faire pour Sn

[Manny06]

Salut à tous,


Je viens chercher de l'aide ici car je suis un peu pommé, mais je pense néanmoins avoir bien commencé.

Voici l'énoncé :

Considérons la suite (dn) définie par, pour tout n appartenant à N* , Dn = 0,77......77
------------
(n.chiffres.7)

Partie A :

1) a) Pour tout n appartenant à N , et pour tout q appartenant à l'intervalle ]-1;1[, on note Sn =

. Rappeler l'expression de Sn, sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : Dn étant une suite géométrique de raison q, Sn = .

1) b) De même, pour tout P appartenant à [0;n], on note Tn = . Déterminer l'expression de Tn sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : : Tn =

2) Montrer que, pour tout q appartenant à ]-1,1[ , (Sn) et (Tn) sont convergentes quand n tend vers l'infini et donner leurs limites respectives S et T.


Pour cette question, je pensais utiliser les théorèmes relatifs aux suites géométriques (quand Q < 1, quand q = 0, quand q < 0 ) mais je n'en suis vraiment pas sur.

Merci d'avance

EDIT : J'ai avancé et déterminé que la limite de Tn était 0, car |q| < 1. Mais je ne sais pas comment faire pour Sn

Dn n'est pas une suite géométrique

[Charmander]

Il te suffit de remarquer que Dn = 0,7 + 0,7x(0,1)^1 + 0,7x(0,1)^2+.....
C'est donc la somme de des n+1 premiers termes d'une certaine suite géométrique que tu expliciteras, puis il te reste plus qu'à appliquer les théorèmes sur la limite d'une suite géo :)

[Macho-Man]

Re,

Merci de votre aide.

D0 vaudrait donc 0,7, et on aurait D1 = 0,7, D2 = 0,77 ... etc

On aurait donc Un (la suite géométrique en question) = 0,7 x 0,1^n, et donc Dn = ?


Ou bien serait-ce une suite arithmétique ? Mais dans ce cas là je ne saurais pas vraiment comment le prouver, car il me semble que Dn+1 - Dn dépendrait de n

[Macho-Man]

Autre question :


Les formules que j'ai mise jusqu'à présent sont-elles justes ? Car si l'on suit ce raisonnement, D0 vaudrait 0, la suite démarrerait donc à D1 ?

[chombier]

Autre question :


Les formules que j'ai mise jusqu'à présent sont-elles justes ? Car si l'on suit ce raisonnement, D0 vaudrait 0, la suite démarrerait donc à D1 ?

d0 n'est pas défini, comme tu l'as écrit "Considérons la suite (dn) définie par, pour tout n appartenant à N*"

Il faut que tu définisse mieux un (pour quels n est-il défini ?) et surtout dn en fonction de un.

[Macho-Man]

Re,

En effet, étourderie de ma part , je te remercie. Je remplace donc D0 par D1 dans la formule, donc pas n+1 termes mais n.

Sauf que les premières questions portant sur q démarrant à 0, la formule demeure juste, faut juste pas que je confonde D0 (qui n'existe pas) et Q^0 soit W0.

Donc :

Si Un = 0,7 x 0,1^n , alors U0 = 0,7, d'où D1 = U0 = 0,7, ça donnerait donc :


?

[chombier]

Salut à tous,


Je viens chercher de l'aide ici car je suis un peu pommé, mais je pense néanmoins avoir bien commencé.

Voici l'énoncé :

Considérons la suite (dn) définie par, pour tout n appartenant à N* , Dn = 0,77......77
------------
(n.chiffres.7)

Partie A :

1) a) Pour tout n appartenant à N , et pour tout q appartenant à l'intervalle ]-1;1[, on note Sn =

. Rappeler l'expression de Sn, sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : Dn étant une suite géométrique de raison q, Sn = .

1) b) De même, pour tout P appartenant à [0;n], on note Tn = . Déterminer l'expression de Tn sous la forme d'une fraction rationnelle de la variable q.

Ma réponse : : Tn =

2) Montrer que, pour tout q appartenant à ]-1,1[ , (Sn) et (Tn) sont convergentes quand n tend vers l'infini et donner leurs limites respectives S et T.


Pour cette question, je pensais utiliser les théorèmes relatifs aux suites géométriques (quand Q < 1, quand q = 0, quand q < 0 ) mais je n'en suis vraiment pas sur.

Merci d'avance

EDIT : J'ai avancé et déterminé que la limite de Tn était 0, car |q| < 1. Mais je ne sais pas comment faire pour Sn

En fait tu t'es déjà trompé sur l'expression de Sn (que viens faire D0 là dedans ?) et l'expression de Tn (la formule est fausse, comment l'as tu construite ? que viens y faire D0 ?)

[Macho-Man]

En fait tu t'es déjà trompé sur Sn (que viens faire D0 là dedans) et Tn (D0 n'a rien à y faire et ta formule est fausse, comment l'as tu construite ?

Sinon, relis l'énoncé, dans tous les cas (Sn et Tn), tu as -1 < q < 1, donc (q^n) converge vers...

Oui, c'est bien pour ça que j'ai corrigé (sur ma feuille) car je me suis mélangé les pinceaux, D0 n'a en effet rien à voir avec Sn ou Tn. Le premier terme dans Sn serait donc q^0 , et celui de Tn serait q^p ?

J'ai construis ma formule en partant du principe que les deux sont des sommes d'une suite géométrique de raison q , d'où la fraction rationnelle que j'ai trouvé. Pour Sn , quelque soit q, q^0 vaudra 1 donc j'aurais pu le virer car multiplier par 1 ne sert à rien.


Pour q, comme |q| < 1 , q^n converge vers 0.

[chombier]

Oui, c'est bien pour ça que j'ai corrigé (sur ma feuille) car je me suis mélangé les pinceaux, D0 n'a en effet rien à voir avec Sn ou Tn. Le premier terme dans Sn serait donc q^0 , et celui de Tn serait q^p ?

J'ai construis ma formule en partant du principe que les deux sont des sommes d'une suite géométrique de raison q , d'où la fraction rationnelle que j'ai trouvé.


Et donc, comme |q| < 1 , q^n converge vers 0.

Tn n'est pas la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (comme tu l'as fait remarquer, son premier terme est q^p), il faut un tout petit peu transformer Tn pour y faire apparaitre la somme des n premiers termes d'une suite géométrique.

[Macho-Man]

Tn n'est pas la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (comme tu l'as fait remarquer, son premier terme est q^p), il faut un tout petit peu transformer Tn pour y faire apparaitre la somme des n premiers termes d'une suite géométrique.

Ok, donc cela donnerait-il

Tn = ?

(On va y'arriver, j'y crois xD )

[chombier]

Ok, donc cela donnerait-il

Tn = ?

(On va y'arriver, j'y crois xD )

Continue

[Macho-Man]

Merci de ton aide, ça m'a vachement aidé sachant que j'étais très mal parti


Aura t-on par conséquent



et

?

[chombier]

Merci de ton aide, ça m'a vachement aidé sachant que j'étais très mal parti


Aura t-on par conséquent



et

?

On est d'accord que ?

Quelle est la limite de ? Quelle est la limite de la suite ?

[Macho-Man]

On est d'accord que ?

Quelle est la limite de ? Quelle est la limite de la suite ?

(en espérant ne pas me tromper) :

La limite de q^n+1 est 0 (comme nous l'avons vu car |q| < 1 ) , donc la limite de cette suite serait bel et bien 0 ?

[chombier]

(en espérant ne pas me tromper) :

La limite de q^n+1 est 0 (comme nous l'avons vu car |q| < 1 )

Oui

donc la limite de cette suite serait bel et bien 0 ?

Non

[Macho-Man]

Oui


Non

AH mince ! J'ai oublié la formule d'une série géométrique, quel idiot ... Désolé.


Pour Sn , la limite sera

Par contre, pour Tn, aurait-elle la même limite ?

[Sourire_banane]

Aaargh Macho-man !! Tu m'as mis la chanson dans la tête !

[Macho-Man]

Body... Wanna feel my boody? xDD


MMh, bref, ne nous égarons pas x)

[Macho-Man]

Merci à tous, en particulier à chombier pour votre aide.

J'ai pu venir à bout de l'exercice, il s'avère que la limite de Tn soit