Soucis suite récurrente !

[manue24]

J'ai un souci avec un exercice term S

Soit un une suite réelle telle que :

quelque soit n sup ou égal 2, un = 1/2 u(n-1) +1/2 u(n-2)

Montrer que un converge et déterminer sa limite ...

Pas de premier terme, rien d'autre ...
J'avoue que j'ai du mal à démarrer
J'ai essayé de trouver une autre suite pour simplifier mais ... pas de terme qui s'annule donc je rame ....

Merci de m'indiquer une piste !!

[mecuol76]

J'ai un souci avec un exercice term S

Soit un une suite réelle telle que :

quelque soit n sup ou égal 2, un = 1/2 u(n-1) +1/2 u(n-2)

Montrer que un converge et déterminer sa limite ...

Pas de premier terme, rien d'autre ...
J'avoue que j'ai du mal à démarrer
J'ai essayé de trouver une autre suite pour simplifier mais ... pas de terme qui s'annule donc je rame ....

Merci de m'indiquer une piste !!

un = 1/2u [(n-1)+(n-2)] = 1/2u ( 2n -3 )
on a un produit de 2 fonction (1/2u)et (2n-3)
donc on calcul la dérivée (dérivée de produit de fonction : U'V-UV' /V²), tableau de variation, etc.
peut etre un début de piste

[adrien69]

Salut,



Soit

Quelle est la limite de ?

Soit

Quelle est la limite de ?

mecuol76, il s'agit d'une suite. Pas d'un produit.

[mecuol76]

Salut,



Soit

Quelle est la limite de ?

Soit

Quelle est la limite de ?

mecuol76, il s'agit d'une suite. Pas d'un produit.

désolé Adrien69, faut dire que ces problèmes de suite, ça fait plus de 20 ans que je les ai vu !
Peux tu jeter un œil sur mon pb de "formule de système de jeu de hasard"?

[MMu]

S'il s'agit de alors c'est facile (théorie des récurrences linéaires):
L'équation caractéristique est avec les racines
On a
:zen:

[SaintAmand]

Soit

Peut-être serait-il bien de lui expliquer que la définition de la suite ne sort pas d'un chapeau.

De la définition
[INDENT][/INDENT]
on tire
[INDENT][/INDENT]
puis
[INDENT][/INDENT]
d'où l'idée de poser .

1. Quelle est la nature de la suite ?
2. Exprimer en fonction des termes de la suite
3. Conclure.

[manue24]

Merci à tous .... je vais essayer de m'en sortir avec toutes ces réponses ... Je ne savais pas que c'était un classique !!!

[adrien69]

Peut-être serait-il bien de lui expliquer que la définition de la suite [/INDENT]
on tire
[INDENT][/INDENT]
puis
[INDENT][/INDENT]
d'où l'idée de poser .

1. Quelle est la nature de la suite ?
2. Exprimer en fonction des termes de la suite
3. Conclure.

Oula. J'espère que tu n'es pas sérieux pour le fait de conclure ? Il est en Terminale je te rappelle. Je le vois mal utiliser un theoreme de convergence d'une série géométrique.
D'autre part la définition de Vn peut être vue de deux autres manières. Une dont je ne parlerai pas ( il s'agit d'une diagonalisation de la matrice associée au système linéaire) et une autre, plus intuitive : Un est la moyenne de U(n-1) et U(n-2). Donc U(n) est plus proche de U(n-1) qu'U(n-1) de U(n-2). Et on mesure cette proximité avec la suite Vn.

D'autre part pour la suite Wn, on sait que Un est la moyenne des deux termes précédents. Donc 2u(n)=u(n-1)+u(n-2) il suffit de rajouter u(n-1) des deux côtés pour voir pourquoi on définit w(n).

[adrien69]

S'il s'agit de alors c'est facile (théorie des récurrences linéaires):
L'équation caractéristique est avec les racines
On a
:zen:

Programme de prépa. Pas de Terminale S si mes souvenirs sont exacts :/

[SaintAmand]

Oula. J'espère que tu n'es pas sérieux pour le fait de conclure ?Il est en Terminale je te rappelle.

La formule donnant la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est au programme de première S, si est au programme de terminale S.

[adrien69]

Ça je sais. En quoi ça permet de conclure diectement ?

[adrien69]

Sérieux ? Ça l'était pas il y a 4 ans.

Bon ben ça te donne deux solutions valables manue24. Ou bien celle de Saint-Amand, ou bien la mienne.

[SaintAmand]

Sérieux ? Ça l'était pas il y a 4 ans.

Mais si. On parle bien de la formule

si .

[adrien69]

Ouep.
Auquel cas c'est OK.
Barbare puisque ça utilise directement le fait (sans le dire) que la suite est 1/2 lipschitzienne pour utiliser le théorème du point fixe de Cauchy (ou du moins ça le redémontre). Mais efficace.

[SaintAmand]

Ouep.
Auquel cas c'est OK.
Barbare puisque ça utilise directement le fait (sans le dire) que la suite est 1/2 lipschitzienne pour utiliser le théorème du point fixe de Cauchy (ou du moins ça le redémontre). Mais efficace.

Ah non, on ne pense pas à la même chose. C'est sûr.

[adrien69]

Sisi. Avec ta méthode tu le redemontres. Je suis d'accord que c'est élémentaire mais tu le redemontres.

[SaintAmand]

Sisi. Avec ta méthode tu le redemontres. Je suis d'accord que c'est élémentaire mais tu le redemontres.

On verra quand Manue nous aura montré sa solution.

[manue24]

On verra quand Manue nous aura montré sa solution.

Effectivement, un peu de mal à comprendre vos conversations mais je pense être arrivé à qquechose.
Je me suis servi de (vn) et effectivement j'ai trouvé que c'était une suite géom de raison -1/2, donc ça va.
Ensuite en additionnant les différents termes, j'ai exprimé (un) en fonction de n, v0 , et des premiers termes uo et u1 qu'on ne connait pas.
Donc effectivement, le terme en puissance n a comme limite 0 et il me reste les termes finis en v0, u0 et u1 qui constituent la limite !?

Je me suis effectivemment servi de la somme 1+p+....+pn pour arriver à mes fins ...

Cela vous semble cohérent ?? :lol3:

[adrien69]

Ouep. Essaie quand même avec ma méthode. Tu trouves v(n) et w(n) sous une forme explicite, puis tu reviens à u(n) en résolvant un système à deux équations deux inconnues. Comme ça tu trouves l'expression exacte de u(n) d'une autre façon et tu conclus.

[SaintAmand]

Barbare puisque ça utilise directement le fait (sans le dire) que la suite est 1/2 lipschitzienne pour utiliser le théorème du point fixe de Cauchy (ou du moins ça le redémontre). Mais efficace.

Maintenant qu'il doit être couché je peux écrire la solution soit disante barbare.

Pour tout entier , on a

[INDENT][/INDENT]

d'où on déduit

[INDENT].[/INDENT]

Soit la suite définie pour tout par

[INDENT][/INDENT]

La suite vérifie pour tout entier , la relation

[INDENT][/INDENT]

donc la suite est géométrique de raison et de premier terme . Son terme général est

[INDENT][/INDENT]

Pour déterminer le terme général de la suite , il suffit de remarquer que

[INDENT][/INDENT]

d'où

[INDENT][/INDENT]

et enfin

[INDENT].[/INDENT]

Comme

[INDENT],[/INDENT]

on conclut que la suite est convergente et

[INDENT][/INDENT]

Alors Adrien, c'est barbare ?