Énumérer les parties d'un ensemble

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cloudinet
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Énumérer les parties d'un ensemble

par cloudinet » 12 Oct 2013, 23:19

J'ai un exo (sans leçon) censé faire appel à des acquis (je suis en term) mais je ne le comprend pas:

1.Enumérer les parties d'un ensemble à 1 élément.

2.Énumérer les parties d'un ensemble à 2 éléments.

3.Énumérer les parties d'un ensemble à 3 éléments.

4.Énumérer les parties d'un ensemble à 4 éléments.


Oui, c'est tout >_>. Mais j'ai vraiment aucune idée de ce dont il est question, je vous serais très reconnaissant si vous pouviez m'apporter un peu d'aide.



Gonra
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par Gonra » 12 Oct 2013, 23:51

Bonsoir ,

si Un Ensemble E contient 1 élément :

E: {a}

combien de parties P(E) contiendrait cette ensemble ?

2) F:{a;b}

3) H(a;b;c)


N'oublie pas l’ensemble vide !
Les parties de E : P(E)
c'est des sous ensemble qui sont inclus dans l'ensemble E

exemple Z : {1,2)
partie de Z : P(z) :{ {1} {Ensemble vide} {2} {1,2} }

cloudinet
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par cloudinet » 13 Oct 2013, 00:07

J'avoue que j'ai du mal avec toute la terminologie.
Je suppose que votre 2) et 3) présentent un ensemble à 2 et 3 éléments.

Donc je dirais sans trop de conviction que pour un ensemble à 1 élément il y a 2 parties/sous-ensembles {a} et {vide}. Pour un ensemble à deux éléments 4 parties {a;b}, {a}, {b} et {vide}. Et pour un ensemble à 3 éléments 8 parties {a;b;c}, {a;b}, {a;c}, {b;c}, {a}, {b}, {c} et {vide}. Ainsi de suite pour un ensemble à 4 éléments.
Je suis sur la bonne voie ou pas du tout?

SaintAmand
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par SaintAmand » 13 Oct 2013, 00:08

cloudinet a écrit:J'ai un exo (sans leçon) censé faire appel à des acquis (je suis en term) mais je ne le comprend pas:

3.Énumérer les parties d'un ensemble à 3 éléments.


Soit A={a,b,c} un ensemble à 3 éléments. Énumérer les parties de A c'est déterminer tous les ensembles inclus dans A. Allons-y:
  • 1 partie à 0 éléments: l'ensemble vide ;
  • 3 parties à 1 éléments: {a}, {b} et {c};
  • 3 parties à 2 éléments: {a,b}, {a,c} et {b,c};
  • 1 partie à 3 éléments: {a,b,c}.

Tu remarqueras que les nombres obtenus sont les coefficients des monômes dans la formule:

.

Je te laisse comprendre pourquoi. Une fois fait, tu pourras facilement généraliser à tout exposant entier positif.

SaintAmand
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par SaintAmand » 13 Oct 2013, 00:10

Oups, on s'est croisé.

cloudinet a écrit: Pour un ensemble à deux éléments 4 parties {a;b}, {a}, {b} et {vide}. Et pour un ensemble à 3 éléments 8 parties {a;b;c}, {a;b}, {a;c}, {b;c}, {a}, {b}, {c} et {vide}. Ainsi de suite pour un ensemble à 4 éléments.
Je suis sur la bonne voie ou pas du tout?


Tu as compris.

SaintAmand
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par SaintAmand » 13 Oct 2013, 00:13

Question supplémentaire:

Conjecture une formule donnant le nombre de parties d'un ensemble à n éléments et démontre-la par récurrence.

cloudinet
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par cloudinet » 13 Oct 2013, 00:17

D'accord merci, mais du coup je bute pour le lien avec l'identité remarquable. C'est parce-qu'il y a trois éléments (a+b)*(a+b)*(a+b) et que ça représenterait toutes les combinaisons possibles? Bon je saisis pas bien vu qu'à l'intérieur il y a deux éléments.

edit: pour certaines raisons j'ai zappé les suites de fonction l'année dernière (j'avais juste fait les suite arithmétiques/géométriques) donc la démonstration par récurrence faudrait que je revois ça avant.

SaintAmand
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par SaintAmand » 13 Oct 2013, 00:40

cloudinet a écrit:D'accord merci, mais du coup je bute pour le lien avec l'identité remarquable. C'est parce-qu'il y a trois éléments (a+b)*(a+b)*(a+b) et que ça représenterait toutes les combinaisons possibles? Bon je saisi pas bien vu qu'à l'intérieur il y a deux éléments.


Te souviens-tu de la double distributivité vue en quatrième ?

[INDENT]On multiplie deux sommes de deux termes en multipliant chaque terme de la première somme par chaque terme de la deuxième somme et en ajoutant les produits partiels ainsi obtenu.[/INDENT]
[CENTER][/CENTER]

Cette propriété se généralise. Ainsi par exemple:



Appliquons-la au développement de . Il y a trois facteurs tous égaux à . Dans chacun de ses facteurs on choisit un terme. Le produit des trois termes est donc de la forme , avec . Nous obtenons autant de monômes qu'il y a de façons de choisir parmi les 3 disponibles. L'identité s'en déduit immédiatement.

SaintAmand
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par SaintAmand » 13 Oct 2013, 00:44

cloudinet a écrit:j'ai zappé les suites de fonction l'année dernière


Tu dois confondre avec autre chose. Les suites de fonctions ne sont pas au programme du lycée, et ce n'est pas prêt d'arriver.

 

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