Logique ??

[Scommel]

Bonjours tous le monde , voila j ai un exo ou on demande de prouvez ceci :

(PQ)(P Q)( ) ;

donc voila j ai fait le tableau de vérité mes le problème c est que je tombe toujours dans une contradiction est j arrive a pas a prouvez comme ceci :

P / Q / P=Q / (PouQ)et((Pbar) et (Qbar))
V / V / V / F
F / F / V / F
F / V / F / F
V / F / F / F

est on voix bien que y a pas d équivalence !!!!!!
Merci d avance .

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il a eu 2 ou 3 sujets mettant en oeuvre ce type de relation.
Bien-sûr, c'est une application directe de l'algèbre de Boole, mais je ne comprends pas très bien l'utilité de cette approche légèrement différente. Auriez-vous un lien qui m'aiderait à comprendre.

[chan79]

Dire que P et Q sont équivalents revient à dire qu'ils sont tous les deux vrais ou tous les deux faux.
donc à

Mets plus de colonnes dans ta table de vérité

[Scommel]

http://www.sciences.ch/htmlfr/arithmetique/arithmetiquethdemonstration01.php

[Scommel]

Donc d apres toi chan il y a une erreur ....

[Sourire_banane]

Bonjour,
Il a eu 2 ou 3 sujets mettant en oeuvre ce type de relation.
Bien-sûr, c'est une application directe de l'algèbre de Boole, mais je ne comprends pas très bien l'utilité de cette approche légèrement différente. Auriez-vous un lien qui m'aiderait à comprendre.

Salut Pierre,

Ce pb ne demande que de la logique élémentaire, pas d'algèbre Booléenne fort heureusement !
Mais moi aussi je tombe face à une erreur. Peut-être qu'il y a un soucis d'énoncé ?

[chan79]

Donc d apres toi chan il y a une erreur ....

oui, car si P et Q sont faux, (P ou Q) ne peut pas être vrai.
C'est toujours faux à droite

[Scommel]

Salut Pierre,

Ce pb ne demande que de la logique élémentaire, pas d'algèbre Booléenne fort heureusement !
Mais moi aussi je tombe face à une erreur. Peut-être qu'il y a un soucis d'énoncé ?

il semble bien en avoir un ....

[chan79]

Donc d apres toi chan il y a une erreur ....

oui, prends le cas où P et Q sont vrais tous les deux
est vrai

est faux

est vrai

est faux

[Dlzlogic]

Salut Pierre,

Ce pb ne demande que de la logique élémentaire, pas d'algèbre Booléenne fort heureusement !
Mais moi aussi je tombe face à une erreur. Peut-être qu'il y a un soucis d'énoncé ?

Je ne suis pas sûr que ce soit si simple que ça.
Je suis entrain de lire le document, le signe ==> se lit implique, j'y quia pas encore, mais je suppose que veut dire implique réciproquement.
Exemple "Si tu as ton diplôme, je t'achète un ordinateur (dit un père à son fils)"
Solution :
Soit, l'enfant a son diplôme le père achète un ordinateur.
Soit l'enfant n'a pas son diplôme, rien n'interdit son père de lui acheter un ordinateur.

Le signe est différent du signe = utilisé en algèbre de Boole.
Par contre la signification de ET OU NOT est la même qu'avec Boole.

[EDIT] D'ailleurs, dans le cours, l'algèbre de Boole est un prérequis.
[EDIT2] A mon avis, la seule façon de résoudre la question est de commencer par remplacer
PQ par P==>Q ET Q==>P.
Il me semble qu'il est difficile de traiter en même temps l'implication et sa réciproque.

[Dlzlogic]

Ce cours est vraiment intéressant, et ce sont des choses que j'ignorais totalement.
D'un côté il faut connaitre l'algèbre de Boole.
Mais aussi, il faut avoir sous la main les tables de vérité de l'opérateur "implique". En effet, c'est un opérateur au même titre que ET, OU, NOT.
On peut naturellement remplacer cet opérateut par des opérateurs booléens, par exemple
La table de vérité (P ==> Q)
P Q P==>Q
V V V
V F F
F V V
F F V

Pas évident, vous trouvez pas ?
Qui peut s'écrire (!P + Q)
Donc, mon conseil, décomposer les relation booléennes en remplaçant par des variables r, s, t pour clarté, puis traiter indépendamment P==>Q et Q==>P, enfin, faire le produit. Tout ça avec les tables de vérité.

[leon1789]

Pas évident, vous trouvez pas ?

Ce que tu découvres avec tant d'émerveillement, c'est le niveau 0 de la logique. :dodo: Encore quelques messages et tu finiras bien par comprendre la question de Scommel et la réponse de chan79. :lol3:

[leon1789]

Pas évident, vous trouvez pas ?

N'est-ce pas le b-a-ba de la logique ??

[leon1789]

Bonjour

C'est amusant de voir Dlzlogic découvrir les tables de vérité et trouver cela "pas évident" :ptdr: Tout mes encouragements pour ta poursuite d'étude.



Mais surtout revenons à l'exercice

(PQ)(P Q)( )

Au premier abord, il paraît assez étrange de mettre des parenthèses ici ...( ) car est associatif (tout comme ). Ainsi on doit observer
(P Q)
qui équivaut (par distributivité de par rapport à ) à
(P ) (Q )
qui équivaut à
Faux Faux

conclusion :
(P Q)( )
est toujours faux , quelles que soient les assertions P et Q.



Comme il a été dit, il s'agit d'une erreur d'énoncé (ou de recopiage de Scommel) : retrouvons l'énoncé correct !
On a PQ si et seulement si :
P et Q sont vrais (on écrit P Q)
ou P et Q font faux (on écrit )

conclusion :
(PQ) est équivalent à (P Q)( )



On peut aussi analyser autrement le PQ :
l'implication PQ est équivalente à ;
de même l'implication PQ est équivalente à ;

conclusion
(PQ) est équivalent à

[leon1789]

Bonjour

C'est amusant de voir Dlzlogic découvrir les tables de vérité et trouver cela "pas évident" :ptdr: Tous mes encouragements pour ta poursuite d'étude.



Mais surtout revenons à l'exercice

(PQ)(P Q)( )

Au premier abord, il paraît assez étrange de mettre des parenthèses ici ...( ) car est associatif (tout comme ). Ainsi on doit observer
(P Q)
qui équivaut (par distributivité de par rapport à ) à
(P ) (Q )
qui équivaut à
Faux Faux

conclusion :
(P Q)( )
est toujours faux , quelles que soient les assertions P et Q.



Comme il a été dit, il s'agit d'une erreur d'énoncé (ou de recopiage de Scommel) : retrouvons l'énoncé correct !
On a PQ si et seulement si :
P et Q sont vrais (on écrit P Q)
ou P et Q font faux (on écrit )

conclusion :
(PQ) est équivalent à (P Q)( )



On peut aussi analyser autrement le PQ :
l'implication PQ est équivalente à ;
de même l'implication PQ est équivalente à ;

conclusion
(PQ) est équivalent à

[Dlzlogic]

Bonjour,
Concernant la table de vérité
P Q P==>Q
V V V
V F F
F V V
F F V

Celui qui trouve que [(F==>V) = V] et que [(F==>F) = V] est évident voudra bien m'expliquer.
Je corrige pour être sûr d'être compris.
Pour la troisième ligne P est faux, Q est vrai, alors (P==>Q) est vrai, évident pour Léon, mais pas (encore) pour moi.
Déjà, en algèbre de Bool, certains ont du mal à comprendre le OU, simplement parce que dans le langage commun le "ou" est plutôt exclusif, alors un nouvel opérateur logique, un autre graphisme, je pense surtout à la négation, tout ça me parait un peu compliqué.

[Sourire_banane]

Bonjour,
Concernant la table de vérité
P Q P==>Q
V V V
V F F
F V V
F F V

Celui qui trouve que [(F==>V) = V] et que [(F==>F) = V] est évident voudra bien m'expliquer.

A : "Je gagne au loto".
B : "Je t'achète une voiture".

A => B : "Si je gagne au loto, alors je t'achète une voiture".
Considérons que je n'ai aucune chance de gagner au loto. Tu ne pourras donc pas m'en vouloir si je promets de t'acheter une voiture si cela arrive. Cela n'arrivera cependant jamais. Donc à partir de deux assertions fausses (je ne gagnerai jamais au loto et je ne t'achèterai jamais de voiture), j'arrive quand même à une conclusion vraie.

"Si je suis milliardaire alors je suis bête"
Or je suis bête mais pas milliardaire. Si on voit plutôt "A implique B" comme "non A ou B", et bien :
Je ne suis pas milliardaire ou je suis bête. Comme je suis bête, cela est vrai et alors je me fiche de savoir si je suis milliardaire ou non. Alors mon implication est vraie, bien que cela ne s'entende pas dans la langage courant (dont la construction présuppose une sorte de causalité entre deux évènements : Quelque chose dans le fait d'être milliardaire fait que que je suis bête. Tu remarqueras que je n'ai pas utilisé le mot "implique").

[leon1789]

Pour la troisième ligne P est faux, Q est vrai, alors (P==>Q) est vrai, évident pour Léon, mais pas (encore) pour moi.

un exemple simple où une assertion fausse implique une assertion vraie :
partons de l'égalité d'entiers -1 = 1 (ce qui est faux évidemment).
Dans l'hypothèse où ces deux entiers étant égaux, ils ont alors même carré : -1=1 implique (-1)² = 1²
Or il est vrai que (-1)² = 1² !

[Dlzlogic]

Bon, d'accord, et dans le même ordre d'idée :

C'est un exemple plutôt anecdotique: dans un cours de Russell portant sur le fait que d'une proposition fausse, toute proposition peut être déduite, un étudiant lui posa la question suivante:

- "Prétendez-vous que de 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le pape ? "

- "Oui", fit Russell

Pourquoi pas ?

[Doraki]

Je te sens sceptique.


Chez moi, ==> est défini par sa table de vérité et ça marche très bien parceque je peux dire des trucs vrais comme "pour tout x de R, si x > 2 alors x² > 4", dont "si -9 > 2 alors 81 > 4" et "si 0 > 2 alors 0 > 4".