Bonjour

[popichon]

Je suis en terminale S spé Math, et je commence déjà à ne pas comprendre... :triste:
Si vous pouviez m'aider ce serait très sympas, merci :)

Soit p un entier naturel. Montrer que si P est un multiple de 3, alors l'entier (p+2)²-(p+1)² est aussi multiple de 3.
Énoncer la réciproque, est-elle vrai ? Justifier.

Alors du coup, on sait que p=3k. J'ai essayé de développer l'expression et je suis arrivée donc à :
p²+4p+4-p²-2p-1 = 2p +3 (sauf erreur de ma part) et me voilà donc coincée...

Dois-je factorisé ? 3(2p/3 +1)

[chan79]

Alors du coup, on sait que p=3k. J'ai essayé de développer l'expression et je suis arrivée donc à :
p²+4p+4-p²-2p-1 = 2p +3 (sauf erreur de ma part) et me voilà donc coincée...

salut

remplace p par 3k dans (p+2)²-(p+1)²

[Sourire_banane]

Salut,

Je suis en terminale S spé Math, et je commence déjà à ne pas comprendre... :triste:
Si vous pouviez m'aider ce serait très sympas, merci

Soit p un entier naturel. Montrer que si P est un multiple de 3, alors l'entier (p+2)²-(p+1)² est aussi multiple de 3.
Énoncer la réciproque, est-elle vrai ? Justifier.

Alors du coup, on sait que p=3k. J'ai essayé de développer l'expression et je suis arrivée donc à :
p²+4p+4-p²-2p-1 = 2p +3 (sauf erreur de ma part) et me voilà donc coincée...

Dois-je factorisé ? 3(2p/3 +1)

Basically... You finished.
Ben faut pas oublier que p=3k :ptdr:

[popichon]

Ah je peux prouver que 2p divise 3 juste en disant que p=3k ?!

[Sourire_banane]

Ah je peux prouver que 2p divise 3 juste en disant que p=3k ?!

Certes...

Si p=3k, 2p+3=2*3k+3=3(2k+1) donc 3|2p+3.

[popichon]

Oh mon dieu merci !

[popichon]

Donc la réciproque est si l'entier (p+2)²-(p+1)² est multiple de 3, alors P est aussi multiple de 3?

[Sourire_banane]

Oh mon dieu merci !

Je m'attendais pas à ce que tu m'appelles Dieu ! M'en voilà ravi !
La réciproque est vraie aussi. On calcule 2p+3=3k, alors cela impose :
2p=3k-3=3(k-1), pour tout k supérieur à 1.
Il faut que k-1 soit pair pour que p existe (p est forcément entier). On pose alors k'=k-1=2k'' et alors p=3k'

[popichon]

Je m'attendais pas à ce que tu m'appelles Dieu ! M'en voilà ravi !
La réciproque est vraie aussi. On calcule 2p+3=3k, alors cela impose :
2p=3k-3=3(k-1), pour tout k supérieur à 1.
Il faut que k-1 soit pair pour que p existe (p est forcément entier). On pose alors k'=k-1=2k'' et alors p=3k'

Ah bon là par contre, je n'ai rien compris à partir de pour tout k supérieur à 1 !

[Sourire_banane]

Ah bon là par contre, je n'ai rien compris à partir de pour tout k supérieur à 1 !

Ouais mais c'est parce que je pars en live avec mes k' et k''.
Bof, faut juste que tu comprennes qu'on peut trouver un entier "tartampion" (et donc plus encore) tel que p=3*tartampion.

[Sourire_banane]

NON STOP ARRETE DE LIRE CE QUE J'AI MARQUE IL Y A DEUX MESSAGES C'EST N'IMPORTE QUOI.
Sorry, la preuve on a pas forcément p entier au vu des conditions... Donc non on a pas forcément p multiple de 3. Désolé c'est la fatigue tu comprends.

[popichon]

La réciproque est donc fausse ?
oui je comprends... :dodo:

[popichon]

SOurire Banane on m'a dit de me servir du fait que les seuls restes possibles de la division euclidienne par trois sont p=3k, p=3k+1 ou p=3k+2.
mais je ne comprends pas en quoi cela aide :(

[Sourire_banane]

Je vois pas exactement, mais comme j'ai l'esprit un peu plus frais ce soir, j'espère pouvoir t'aider sans dire d'âneries.

Supposons que 3|(p+2)²-(p+1)²
Alors il existe un k entier tel que p²+4p+4-p²-2p-1=2p+3=3k
On en déduit que 2p est divisible par 3. Comme PGCD(2,3)=1, le lemme de Gauss nous garantit que 3 divise p.

[popichon]

lemme de Gauss ? Ceci est du chinois pour moi !

[Sourire_banane]

lemme de Gauss ? Ceci est du chinois pour moi !

3 divise 2p. Or 2 n'est pas divisible par 3 donc 3 ne peut diviser que p...