Fonction convexe dans IR^2...ou IR^n

[hervedo]

Bonjour à tous,


J ai une petite question qui me trotte dans la tête...
Soit f une fonction scalaire définie sur IR^2 par f(x,y)=(x-y)^2.
Cette fonction est convexe et admet une infinité de points critiques...ces points critiques sont alignés car ils engendrent la droite d équation y=x...

Peut-on trouver une fonction convexe sur IR^2 qui admet au moins trois points critiques (mais pas une infinité) qui ne soient pas alignés ?
J ai envie de dire que la réponse est NON mais je n arrive pas à le prouver...

Merci

[Sylviel]

Je ne sais pas quelle définition tu as de points critique. Si ce sont des points tels que f'(x)=0, alors ce sont des minimums de la fonction (car elle est convexe) et l'ensemble des minimums de f est un ensemble convexe (démonstration simple... à faire ;-) d'où la réponse à ta question.

[hervedo]

Merci Sylviel...en effet ma définition de point critique doit être celle utilisée par tous à savoir que c est un point en lequel les dérivées partielles premières s annulent...par contre ce que tu dis est vrai mais ça ne répond pas vraiment à ma question.

[Sylviel]

Bien sûr que si cela répond à ta question (et ne sois pas si certain de la généralité d'une définition en maths ;-) :

Si a et b sont deux points critiques alors un élément quelconque de [a,b] aussi, tu as donc une infinité de points critique.

[hervedo]

Bonjour et encore MERCI Sylviel...la réponse à ma question du début est bien NON :)
Si j ai strictement plus de deux points critiques pour une fonction convexe (ou concave) alors il y en a une infinité...tu dis que la preuve est simple est-ce que tu peux me donner l ébauche de celle-ci stp ?
Merci.

[Sylviel]

Montre que si a et b sont des minimums de f alors la combinaison convexe est aussi un minimum de f.

[hervedo]

Ah ok merci Sylviel.