Exercice équation fonctionnelle

[oussazizi]

Soit f: de N à N bijective. Prouver qu'il existe trois entiers naturels a,b,c tels que aPour ma part je pense que qu'on peut utiliser le TVI. Qu'est ce que vous en pensez?

[nuage]

Qu'il est absurde d'utiliser le TVI.
Quelles sont ses hypothèses ?

La seule bijection monotone de N dans N est l'identité.

[Matt_01]

Bonsoir,

On peut déja assez facilement montrer qu'en fait il suffit de montrer que pour g une bijection de N, il existe a et b tels que leur milieu m vérifie : g(m) dans [g(a),g(b)].

Maintenant, pour le montrer on suppose la propriété fausse.
En prenant a et en faisant varier b, on sait qu'à partir d'un certain rang (pour b) on aura g(m)>g(b),g(a) (on n'a que g(a) possibilités pour que g(m) < g(a)).
Donc, si on construit la suite b_n+1 = 2b_n - a, initialisée à b, on aura une suite croissante (on suppose b>a) et telle que le milileu de a et b_(n+1) soit b_n, et avec donc g(b_n)>g(b_(n+1)) : on a une suite strictement décroissante de N : c'est impossible.

En appliquant la propriété f-1 on a l'existence de u et v, m leur milieu, tel que f-1(m) appartient à [f-1(u),f-1(v)]
En posant a=f-1(u), c=f-1(v) et b=f-1(m), on a bien f(a)+f(c)=2f(b) avec a
Y a surement plus simple, et y a surement des erreurs ;)

[MMu]

Soit l'ensemble d'entiers et est surjective , il existe tel que .
On a manifestement , donc et le triplet satisfait au problème.
:zen:

[Losange]

On n'aurait donc pas besoin de la bijectivité, mais uniquement de la surjectivité.