Topologie

[majin]

Bonsoir,
Je voudrais montrer que l'ensemble A des fonctions f:[0,1]-R de classe 1 tel que f(0)=0 n'est pas un fermé pour la norme infinie.
Je dois donc trouver une suite f_n qui converge uniformement vers f qui n'est pas de classe 1. Des idées? Merci.

[jlb]

Bonsoir,
fn(x)=((x-0,5)² +1/n²)^0,5 -(0,25+1/n²)^0,5 cela doit aller!! fn sont C1 sur [0,1] et fn(0)=0

et fn converge uniformément vers x-->|x-0,5|-0,5 qui n'est pas dérivable en 0,5.
Mais bon il te reste à montrer tout cela!!

[Gildo]

Je crois qu'il s'agit de montrer que pour tout point de cet ensemble on peut former une boule ouverte appartenant à cet ensemble.

[adrien69]

ça marche tout seul.

[jlb]

ça marche tout seul.

Salut Adrien, pas de convergence uniforme, je crois, car fonction limite pas continue.

[jlb]

Salut Adrien, la cv n'est pas uniforme, la fonction limite n'étant pas continue.

[adrien69]

Ah oui, pardon, désolé. Quitte à translater pourquoi pas alors ?

[jlb]

tu voulais dire |x|+1/n? sinon, c'est toujours pas continue. Mais du coup, il y a un pb, la suite de fct n'est pas C1 si tu translates |x|+1/n, enfin je crois.

[jlb]

Je crois qu'il s'agit de montrer que pour tout point de cet ensemble on peut former une boule ouverte appartenant à cet ensemble.

en gros le contraire de fermé, c'est ouvert?? je ne crois pas que cela soit correct; ]0,1] n'est ni fermé ni ouvert, non?

[arnaud32]

le complementaire d'un ferme est un ouvert, mais ne pas etre ferme ne signifie pas etre ouvert
[0,1] est ferme
]-oo,0[ U ]1,+oo[ est ouvert

[0,1[ n'est pas ferme
]-oo,0[ U [1,+oo[ est ouvert n'est ni ouvert, ni ferme

[adrien69]

tu voulais dire |x|+1/n? sinon, c'est toujours pas continue. Mais du coup, il y a un pb, la suite de fct n'est pas C1 si tu translates |x|+1/n, enfin je crois.

Si ça le sera, suffit de prendre sur [-1/2, 1/2]

[adrien69]

En fait je dis clairement de la merde.
Bon méthode brutale : théorème de Weierstrass appliqué à la valeur absolue.

[adrien69]

Sinon, j'avais ça en tête :