Intégrale et équation fonctionnelle

[nekros]

Salut :happy3:

Soit .
Trouver toutes les applications de dans de classe , à valeurs positives (au sens large) telles que :

,

A+

[Bija]

Si f(x) est différent de 0, en dérivant l'équation on obtient a*f'(x)=1.
On suppose f non nulle : f(x0) différent de 0. f est strictement positive au voisinage de x0, donc sur un intervalle du type [x0-c,x0+c[ et pour x dans cet intervalle, f(x)=(x-x0)/a+f(x0).
On en déduit que f est strictement positive sur un intervalle du type [y0,+inf[ avec f(x)=(x-y0)/a, pour x>y0.
f étant C1, f'(y0)=1/a et pour x au voisinage de y0, f(x) est équivalent à (x-y0)/a, donc f(x)<0 pour xcontradiction.

f=0 est la seule solution.

[nekros]

Salut,

f=0 est solution, mais ce n'est pas la seule.
Je pense que tu t'es trompé dans la dérivation.

A+

[Bija]

Une autre solution :

pour x<=0, l'intégrale du membre de droite est négative, donc f(x)=0 pour x<0.
Si f est non nulle soit x0 l'inf de {x/f(x)>0}. f est nulle sur [0,x0] et f'(x0)=0.
Soit n dans N*, il existe yn dans [x0,x0+1/n]/f(yn)>0, et donc f'(yn)=1/a.
Or yn tend vers x0 fonc f'(yn) tend vers f'(x0)=0 car f' est continue.
D'ou la contradiction.

EDIT : pour la dérivation j'obtiens a*f'(x)*f(x)^(a-1)=f(x)^(a-1).

[nekros]

J'espère que jme suis pas trompé en traitant l'exo :marteau:

Bon, pour la dérivée je suis d'accord.

Donc j'ai montré que f convient ssi f(0)=0 et f vérifie l'équation différentielle issue de la dérivation.

Puis on a donc f est croissante et on considère alors f^{-1}({0})

Je mets le raisnnement si tu veux.
A+

[Bija]

Oui poste ton raisonnement.

Et poste aussi le résultat final que tu obtiens, parce que je ne pense pas qu'il y ait d'autres solutions que la fonction nulle.

[nekros]

Ok,

Je crois que je me suis trompé, et que tu avais raison :marteau:

est solution équivaut à : , et

est solution équivaut à : , et

Or, , et équivaut à ou pour tout x

De là on en déduit que est croissante.

Comme l'ensemble ( [ ] pour {}) est une partie fermée de , puisque est un fermé de et que f est continue, croissante alors c'est un intervalle de la forme ou , ou (A dans R) ou

Pour le deuxième cas :
On a alors , donc , (b dans R)

Or, est continue en et donc

(les autres cas sont plus simples)

Les solutions sont donc :

si et si avec dans .

[nekros]

Ok

Je crois que je me suis trompé, et que tu avais raison :marteau:

est solution équivaut à : , et

est solution équivaut à : , et

Or, , et équivaut à ou pour tout x

Je trouvais comme solution : si et si avec

Mais cette solution ne fonctionne pas...

a+

[Bija]

Non parcequ'elle n'est pas C1.

Mais on peut restreindre les hypothéses et supposer f dérivable si tu veux.