Hilbert non séparable
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Joker62
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par Joker62 » 15 Sep 2013, 21:06
Hello !
On considère
l'ensemble des fonctions continues de
dans
.
On le munit du produit scalaire défini par
On note
son complété de sorte que H est un Hilbert.
On prouve sans trop de problème que la famille de fonctions
est orthonormale.
J'aimerai comprendre pourquoi cela suffit à prouver que H est non séparable ?
Est-ce dû au fait que l'on a une famille orthonormale non dénombrable ?
Merci.
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mr_pyer
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par mr_pyer » 15 Sep 2013, 22:00
Bonsoir,
Je ne sais pas quelle définition as-tu de séparable mais cela suffit en effet à démontrer que K n'est pas à base dénombrable (la définition que je prends de séparable).
Par contre ton espace n'est pas correctement défini car la fonction
pourtant
...
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Joker62
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par Joker62 » 15 Sep 2013, 22:41
Hello.
Merci pour la réponse.
Pour moi séparable c'est qui contient un sous-ensemble dénombrable et dense.
En fait, l'idée ça reste d'avoir une base dénombrable à priori.
Comment régler le problème de fonction Id ?
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Joker62
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par Joker62 » 16 Sep 2013, 08:27
À priori, il faudrait enlevé de H, toutes les fonctions qui ont une norme infinie.
Il doit y en avoir un sacré paquet :D
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mr_pyer
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par mr_pyer » 16 Sep 2013, 23:13
En fait il faut peut-être plutôt considérer
l'ensemble des fonctions continues bornées.
Supposons
séparable, il existe
dénombrable et dense dans
.
Pour tout
il existe
tel que
. Or
donc les
,
sont distincts, ce qui contredit la dénombrabilité de
.
Voilà voilà, pas trop dur la reprise d'études ? :lol3:
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Joker62
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par Joker62 » 17 Sep 2013, 18:37
Parfait merci.
La reprise d'étude est très agréable en fait :)
L'enseignement m'a fait prendre beaucoup de recul et je pense que je suis davantage prêt maintenant que je ne l'étais il y a 3.
Puis c'est tellement bon l'analyse fonctionnelle :p
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