Matrice

[forumeur]

Bonjour,

j'aurais besoin de votre avis sur un exercice sur les matrices.

[Sylviel]

Réponse rapide pour ta seconde matrice :
- as-t-elle une forme spéciale ?
- Connais tu un résultat puissant pour les matrices de cette forme ?

[forumeur]

Réponse rapide pour ta seconde matrice :
- as-t-elle une forme spéciale ?
- Connais tu un résultat puissant pour les matrices de cette forme ?

J'ai pensé au fait qu'elle soit symétrique donc diagonalisable.

Mais pour calculer le polynôme caractéristique, je ne trouve jamais le même chose.

J'ai essayer de la simplifier et je retombe sur cà:

3 1 2
0 -4 -2
0 0 0

[Sylviel]

Tu dois juste dire si elle est diagonalisable, non ? Elle est symmétrique réelle => elle est diagonalisable. Pas besoin d'aller plus loin.

[forumeur]

Tu dois juste dire si elle est diagonalisable, non ? Elle est symmétrique réelle => elle est diagonalisable. Pas besoin d'aller plus loin.

je dois ensuite donner une base de vecteur et une matrice diagonale semblable, chose que je n'arrive pas pour la matrice 2

[Sylviel]

Ce n'est pas l'énoncé que tu avais donné au début...

Dans ce cas il faut effectivement trouver valeurs propres et vecteurs propres.
Quelques indications :
- de quel rang est la matrice (immédiat) ? En déduire une valeur propre. Calculer un vecteur propre correspondant.
- que vaut la somme des termes d'une ligne ? Comment utiliser ce fait pour proposer un vecteur propre ? A quel valeur propre correspond-t-il ?
- que vaut la trace de ta matrice ? Déduis en ta troisième valeur propre puis trouve un vecteur propre associé.

P.S : je n'ai pas compris comment tu as "simplifié" ta matrice. Ni pourquoi tu n'as pas pu calculer un polynome caractéristique (donc un déterminant 3x3).

[forumeur]

Dans ce cas il faut effectivement trouver valeurs propres et vecteurs propres.
Quelques indications :
- de quel rang est la matrice (immédiat) ? En déduire une valeur propre. Calculer un vecteur propre correspondant.
- que vaut la somme des termes d'une ligne ? Comment utiliser ce fait pour proposer un vecteur propre ? A quel valeur propre correspond-t-il ?
- que vaut la trace de ta matrice ? Déduis en ta troisième valeur propre puis trouve un vecteur propre associé. [/quote]
- la matrice est de rang 2 je dirais. Ensuite je ne sais pas comment en déduire une valeur propre.

- celà vaut 6, mais je connais pas cette méthode pour trouver un vecteur propre.

- la trace vaut 7, et je ne sais pas comment en déduire une valeur propre.

Je vous remercie pour votre aide, car je ne vais pas vous cacher que j'ai du mal avec tous ce qui est vecteur propre et valeur propre, notions que j'ai du mal à comprendre.

[Sylviel]

Ouhlàlà. Pas mal d'erreur là dedans.

Le polynome caractéristique c'est le déterminant


Donc ce que tu as fait ne sers pas à grand chose ici...

Pour ce qui est de mes indices (qui valent la peine d'être compris).

--> Si la matrice est de rang 2, cela signifie que le noyau est non vide, donc qu'il existe un vecteur non nul X tel que AX=0. Donc X est un vecteur propre pour la valeur propre ...
(ça c'est un truc archi classique qu'il faut bien comprendre)

--> Là c'est une astuce un peu plus subtile. Considère le vecteur avec que des 1...

--> Quel résultat du cours fait le lien entre valeurs propres et trace ? (Par ailleurs ta trace est fausse. Pour mémoire la trace c'est la somme des termes diagonaux).

[forumeur]

Ouhlàlà. Pas mal d'erreur là dedans.

Le polynome caractéristique c'est le déterminant


Donc ce que tu as fait ne sers pas à grand chose ici...

Pour ce qui est de mes indices (qui valent la peine d'être compris).

--> Si la matrice est de rang 2, cela signifie que le noyau est non vide, donc qu'il existe un vecteur non nul X tel que AX=0. Donc X est un vecteur propre pour la valeur propre ...
(ça c'est un truc archi classique qu'il faut bien comprendre)

--> Là c'est une astuce un peu plus subtile. Considère le vecteur avec que des 1...

--> Quel résultat du cours fait le lien entre valeurs propres et trace ? (Par ailleurs ta trace est fausse. Pour mémoire la trace c'est la somme des termes diagonaux).

Pour la matrice que vous m'avez indiqué, il manque un X il me semble que j'ai pris en compte pour la suite. J'ai bien utilisé cette méthode pour la calcule et je trouve -x^3 +4x²+12x= -x (x-6) (x+2)


Pour la trace, elle vaut donc 4 .
Quel résultat du cours fait le lien entre valeurs propres et trace ? je ne vois pas .

[Sylviel]

Oui, j'avais oublié un X.

Les deux premières astuces sont issues de la définition de valeur propre.

Pour la troisième c'est un résultat que je pense être dans tous les cours, mais peut-être ai-je tort. La trace d'une matrice diagonalisable est égale à la somme de ses valeurs propre (en effet :
si A=P^-1 D P alors tr(A)=tr(P^-1 D P)=tr(DPP^-1)=tr(D) et la trace d'une matrice diagonale c'est bien la somme de ses coefficients, donc la somme des valeurs propres. Dans le même genre le déterminant c'est le produit des valeurs propres).

[forumeur]

Oui, j'avais oublié un X.

Les deux premières astuces sont issues de la définition de valeur propre.

Pour la troisième c'est un résultat que je pense être dans tous les cours, mais peut-être ai-je tort. La trace d'une matrice diagonalisable est égale à la somme de ses valeurs propre (en effet :
si A=P^-1 D P alors tr(A)=tr(P^-1 D P)=tr(DPP^-1)=tr(D) et la trace d'une matrice diagonale c'est bien la somme de ses coefficients, donc la somme des valeurs propres. Dans le même genre le déterminant c'est le produit des valeurs propres).

Pour la troisième dans mon cours, elle n'y figure pas directement, mais elle est présente dans un exercice d'approfondissement fait en travaux dirigé et dont j'avais oublié le résultat.

Je vous remercie pour toutes l'aide apporté ainsi que pour explications de cours.

Un grand merci.

[Sylviel]

A ta décharge le chapitre sur la diagonalisation présente tout plein de résultats nouveaux et peu intuitif. Cela prends du temps à maîtriser (je recommande de jeter un oeil sur les chapitres diagonalisation du méthodix algèbre pour un regard différent de celui d'un cours standard).

N'hésite pas à revenir poser des questions si besoin !

[forumeur]

A ta décharge le chapitre sur la diagonalisation présente tout plein de résultats nouveaux et peu intuitif. Cela prends du temps à maîtriser (je recommande de jeter un oeil sur les chapitres diagonalisation du méthodix algèbre pour un regard différent de celui d'un cours standard).

N'hésite pas à revenir poser des questions si besoin !

Je prend note merci pour tout.