Valeurs extrêmales

par **Frosties** » 30 Aoû 2006, 18:20

Bonjour,
Un petit souci... Voici l'énoncé :

Soit x, y, et z éléments de R. On suppose que :
1 < x < 4
2 < y < 5
5 < z < 6

Déterminer les valeurs x, y et z telles que le nombre |x-y|/(1+z) soit extrêmal, et préciser ses valeurs extrêmales.

Déterminer les valeurs de x, y et z telles que le nombre 1+y/|x-z| soit extrêmal, et préciser ces valeurs extrêmales.

Déterminer les valeurs de x, y et z telles que le nombre |x-y|-x soit extrêmal, et préciser ces valeurs extrêmales.

Merci d'avance !

P.S :
Question qui n'a rien à voir...
Comment fait-on pour encadrer par deux entiers consécutifs des nombres tels que :
Racine de 17 - Racine de 3
Racine de 55 + Racine de 7
etc...
Voire même : Comment fait-on pour encadrer par les inverses de deux entiers consécutifs des nombres tels que -1/Racine de 500...

Enfin bref, merci à tous ceux qui pourront m'aider...
:happy2:

par **nekros** » 30 Aoû 2006, 18:25

Frosties a écrit:P.S :
Question qui n'a rien à voir...
Comment fait-on pour encadrer par deux entiers consécutifs des nombres tels que :
Racine de 17 - Racine de 3
Racine de 55 + Racine de 7
etc...
:happy2:

Salut,

Tu peux toujours t'en sortir avec la croissance de la fonction "racine carrée"

A+

par **jose_latino** » 30 Aoû 2006, 19:32

Quand tu aies un exo de valeurs extrêmes, c'est utilse proposser un valeur tentatif.
regarde l'expression: |x-y|/(1+z), tu peux, par exemple, maximiser |x-y| et minimiser de façon indépendante: 1|x-y|<4 ou |x-2|<2, alors |x-y|<4, pour tout x, y avec les conditions données.
C'est la même chose pour z, 1/(1+z)<1/6, donc |x-y|/(1+z)<4(1/6)=2/3. Il faut vérifier que 2/3 est le suprême. commen Nuage a bien dit, c'est seulement le borne supérieur, c'est pas un maximum, car il n'y a pas de valeurs avec les conditions données, telles que |x-y|/(1+z)=2/3

par **nuage** » 30 Aoû 2006, 19:36

Salut,
Il y a une valeur minimale à l' expression |x-y|/(1+z) : 0. Elle est atteinte ssi x=y. La valeur maximale est 2/3 n'est pas atteinte.

[edit] la borne sup 2/3 et non la valeur maximale

par **Frosties** » 30 Aoû 2006, 21:16

Mmmmmm...
Merci en tout cas pour vos réponses. Je vais tâcher d'y réfléchir et tenter de faire l'exercice avec vos explications.
Si mes faibles capacités intellectuelles ( :doh: ) ne me permettent pas de comprendre en totalité, je reviendrais vous passer un petit bonjour.
Merci encore.

par **Frosties** » 31 Aoû 2006, 13:23

jose_latino a écrit:Quand tu aies un exo de valeurs extrêmes, c'est utilse proposser un valeur tentatif.
regarde l'expression: |x-y|/(1+z), tu peux, par exemple, maximiser |x-y| et minimiser de façon indépendante: 1<x<4, 2<y<5, alors -5<-y<-2, en sommant: -4<x-y<2

Juste que là, pas de soucis.

jose_latino a écrit:il faut avoir remarquer que -4<x-y<2 est équivalent à -4<x-y<0 ou 0\leq x-y<2, ça veut dire
|x-y|<4 ou |x-2|<2, alors |x-y|<4, pour tout x, y avec les conditions données.

Je capte pas trop d'où vient le 2 dans l'expression |x-2|<2 ?
C'est pas plutôt |x-y|<2 ?
En fait, je dois différencier deux cas, celui ou la valeur x-y est négative, et celui ou la valeur x-y est positive, c'est ça ?

jose_latino a écrit:C'est la même chose pour z, 1/(1+z)<1/6, donc |x-y|/(1+z)<4(1/6)=2/3. Il faut vérifier que 2/3 est le suprême. commen Nuage a bien dit, c'est seulement le borne supérieur, c'est pas un maximum, car il n'y a pas de valeurs avec les conditions données, telles que |x-y|/(1+z)=2/3

Très bien.
Donc pour rédiger, je peux dire que la valeur absolue est toujours positive, et comme le numérateur est positif, on ne peut avoir de valeur négative. Or si x = y, le résultat est 0, il s'agit donc de la valeur minimale.
Pour la valeur maximale, je sépare les conditions sur |x-y| et celles sur 1(1+z), et je multiplie tout ça afin de trouver 2/3.
That is right ?

par **Frosties** » 31 Aoû 2006, 13:37

Pour voir si j'ai compris quelque chose à la chose ( :lol2: )
Avec l'exemple (1+y)/|x-z|

Si je raisonne de la même manière :
3 < 1+y < 6

1 < x < 4
-6 < -z < -5
-5 < x-z < -1
Donc |x-z| < 5

1/|x-z| > 1/5
1+y > 3

D'où (1+y)/|x-z| > 3/5
Donc 3/5 est une valeur minimale pour (1+y)/|x-z|.
Par contre pour la valeur maximale j'arrive pas à appliquer la même méthode, si elle est bonne bien sûr. :hein:

par **nuage** » 31 Aoû 2006, 22:45

Salut,

Frosties a écrit:Pour voir si j'ai compris quelque chose à la chose ( :lol2: )
Avec l'exemple (1+y)/|x-z|

Si je raisonne de la même manière :
3 1/5
1+y > 3

D'où (1+y)/|x-z| > 3/5
Donc 3/5 est une valeur minimale pour (1+y)/|x-z|.
Par contre pour la valeur maximale j'arrive pas à appliquer la même méthode, si elle est bonne bien sûr. :hein:

Dans ce cas la valeur maximale est 6 : on prend le maximum pour le numérateur et le minimum pour le dénominateur. Encore une fois elle n'est jammais atteinte.

A+

par **andros06** » 01 Sep 2006, 09:41

C'est tout simplement un problème d'optimisation .

le problème se réécrit de la façon suivante :

avec g(x,y,z)=x+y+z.
Appellons g1=g-7 et g2=-g+15. On a alors :

Ceci est un pb typique d'optimisation sous contraintes "inégalités". Il te suffit de passer par un calcul du Lagrangien et de ces multiplicateurs. Je te laisse chercher ça sur le net, c'est, je pense, suffisamment bien détaillé.

par **xon** » 01 Sep 2006, 10:28

attention tout de même avant de te lancer dans le calcul avec ton Lagrangien à distinguer les cas pour virer ta valeur absolue car si tu passes par Kuhn-Tucker tu va devoir différentier ton Lagrangien

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