[TEX]F\subset(F^\perp)^\perp[/TEX] ?

[AshEnVaLe]

Bonjour,

J'avais une quesiton quant aux espaces vectoriels muni d'un produit scalaire de dimension infinie. Est ce que la propriété est vrai dans un espace non euclidien comme défini ci-dessus ?

Je pensais que oui, mais un exemple simple la contredit (à moins que ça soit cette preuve qui soit erronée !) :
Plaçons nous dans K[X] muni du produit scalaire
Cette application est bien bilinéaire symétrique (de par la commutativité de la loi x dans K[X]), et positive : .

Cependant, prenons X, ce vecteur est orthogonal à n'importe quel vecteur de K[X]. donc d'où
Or !!

So ? Ou est le probleme ?

Merci d'avance

AshEnVaLe

[AshEnVaLe]

Je crois avoir trouvé le problème de la preuve :


Mais je ne comprends toujours pas la raison de

[El_Gato]

Ta forme est bien positive, mais elle ne l'est pas strictement. Donc il y a des vecteurs isotropes (typiquement les polynomes de degré >= 1) et l'orthogonal de K[X] n'est pas {0}.

[Yipee]

Ta forme bilinéaire n'est pas un produit scalaire car elle n'est pas définie. De ce fait l'orthogonal de n'est pas 0. Il y a par exemple dedans...

[El_Gato]

Mais je ne comprends toujours pas la raison de

Cette relation est vraie dans tout espace préhilbertien: si alors pour tout =0. D'où le résultat.

[nekros]

Tu peux le montrer de cette manière :

Soit dans , soit dans . On a donc .
Donc , et donc

Sauf erreurs.

A+

[AshEnVaLe]

Cette relation est vraie dans tout espace préhilbertien: si alors pour tout =0. D'où le résultat.

Je suis peut être stupide, ou il y a un déclic :id: qui ne s'est pas fait dans ma tête, mais je ne comprends pas en quoi ce qui est cité explique .
Merci d'expliciter :hein:

[nekros]

Salut,

Soit dans , soit dans , on a . On en déduit que , , c'est-à-dire

A+

[xon]

En fait cela veut dire que tout vecteur est orthogonal à tout , donc F tout entier est orthogonal à et donc .

Je suis pas sur d'avoir été plus clair...

[El_Gato]

En dimension finie, tu as toujours .

C'est en dimension non-finie que l'inclusion peut être stricte: elle traduit alors des conditions de nature topologique.

Par exemple dans un Hilbert, de dimension non-finie, l'égalité a bien lieu, et elle est équivalente à la caractérisation des formes linéaires continues qui sont toujours "réalisées" par un produit scalaire avec un certain vecteur. C'est cette petite subtilité qui fonde l'utilité des Hilbert en analyse.

Mais dans les espaces préhilbertiens généraux (non complets), l'inclusion peut être stricte.

[AshEnVaLe]

J'ai très bien compris à présent. Merci à vous tous pour vos réponses.