Polynomes de Legendre

[Pythales]

Bonjour, et bonne rentrée.

Je suis tombé sur cette formule (dite formule de Rodriguès) que j'essaye de démontrer



Voici où j'en suis dans la démo :

- Les puissances impaires de dans le développement de droite correspondent à des puissances impaires de qui, intégrées entre et donnent un résultat nul, éliminant du même coup les radicaux. Le membre de droite est bien un polynome réel de degré .\\
- Pour on obtient respectivement , et dans les 2 membres, ce qui initialise la récurrence.\\
- J'ai écrit que ce qui donne par Leibniz \\
et c'est ce dernier terme qui pose problème.

Peut être la récurrence n'est-elle pas la solution ...

Merci de vos avis

[lionel52]

Je crois que les polynomes de legendre suivent une certaine équa diff, tu peux vérifier que c'est le cas pour l'intégrale et qu'en certaines valeurs bien choisie l'égalité est aussi vraie

[Pythales]

Je crois que les polynomes de legendre suivent une certaine équa diff, tu peux vérifier que c'est le cas pour l'intégrale et qu'en certaines valeurs bien choisie l'égalité est aussi vraie

Oui, j'y ai pensé, mais je ne crois pas que ce soit l'esprit de l'exercice, car on ne parle pas de Legendre (c'est moi qui l'ai ajouté).
On attend une démo directe, mais peut-être la récurrence n'est-elle pas la bonne méthode.

[JeanJ]

Bonjour, et bonne rentrée.

Je suis tombé sur cette formule (dite formule de Rodriguès) que j'essaye de démontrer



Voici où j'en suis dans la démo :

- Les puissances impaires de dans le développement de droite correspondent à des puissances impaires de qui, intégrées entre et donnent un résultat nul, éliminant du même coup les radicaux. Le membre de droite est bien un polynome réel de degré .\\
- Pour on obtient respectivement , et dans les 2 membres, ce qui initialise la récurrence.\\
- J'ai écrit que ce qui donne par Leibniz \\
et c'est ce dernier terme qui pose problème.

Peut être la récurrence n'est-elle pas la solution ...

Merci de vos avis

Bonjour,

attention, il y a une erreur : la règle de Leibniz que tu appliques ne vaut que pour n=1. Pour les dérivations d'ordres supérieurs, la formule est plus compliquée.

[JeanJ]

Je pense que vouloir démonter directement la formule de Rodrigues dans un cas particulier de fonction conduira à un développement ardu.
Pourquoi ne pas se placer d'abord dans le cas général des polynômes orthogonaux, reprendre les démonstrations nécessaires et finalement faire l'application aux polynômes de Legendre ?
Il y a un article bien fait sur Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_orthogonaux
Le cas des polynômes de Legendre y est traité, avec les caractéristiques clairement indiquées dans un tableau.

[Pythales]

Bonjour,

attention, il y a une erreur : la règle de Leibniz que tu appliques ne vaut que pour n=1. Pour les dérivations d'ordres supérieurs, la formule est plus compliquée.

Je ne pense pas, car la dérivée seconde de x est nulle...

Merci pour le lien.