Base espace vectoriel

[Ludo1be]

Bonjour,

J'ai un exercice simple d'algèbre linéaire mais cependant celui-ci suscite des questions...
Voici l'énoncé:

Dans R4, trouver la dimension de l'espace vectoriel engendré par:
V1 = (-1,0,2,3)
V2 = (2,1,-2,1)
V3 = (5,2,-6,-2)
V4 = (0,4,2,1)
V5 = (2,2,-1,0)

On sait déjà qu'un des vecteur est combi li des autres.
1) Puis-je en retirer déjà un au hasard donc? (je ne pense pas puisque ça se peut qu'un ne pourra plus s'écrire comme combi li des autres)

2) Lorsque vous avez ce genre d'exercices, comment procéder?
Je prends un vecteur au hasard et ensuite je regarde si un autre n'est pas combili du premier puis un troisième et regarde que celui-ci n'est pas combi li des deux premiers ainsi de suite?

3) Si oui, alors il est possible que je n'obtienne pas les mêmes bases qui génèrent cet espace vectoriel?



Merci!

[leon1789]

On sait déjà qu'un des vecteur est combi li des autres.

oui, vu qu'il y a 5 vecteurs en dimension 4, on sait déjà qu'un des vecteur est combi li des autres.

1) Puis-je en retirer déjà un au hasard donc? (je ne pense pas puisque ça se peut qu'un ne pourra plus s'écrire comme combi li des autres)

Non, surtout pas ! il faut trouver un vecteur qui s'écrit en fonction des autres pour le supprimer.

[Ludo1be]

Ok merci Leon! C'est bien ce qui me semblait


Quelqu'un pour répondre à la 2 et la 3?

[Kiocle]

Bonjour
IL existe une infinité de base qui génère un espace vectoriel.
Sinon une méthode pour rétirer les vecteur est de mettre des coefficents



tu résout le système, si il y a deux alpha non nuls tu peux retirer un vecteur (avec un coefficent alpha non nul)

[Ludo1be]

Ah oui, en fait c'est le critère pour démontrer qu'une partie est libre (alpha1 et alpha2 = 0). or ici ce n'est aps le cas donc un des vecteurs est combi li des autres.

Mais donc pour 2), je peux prendre un vecteur de base et à chaque fois ajouter un autre vecteur a condition qu'il n'est pas combi li des autres pour trouver une base?

[Archibald]

Bonsoir,

il te faut simplement résoudre ce système :

Mais comme nous ne sommes pas fous, on va plutôt travailler sur sa matrice augmentée



As-tu déjà abordé la notion de déterminant ?

[Ludo1be]

Non pas encore...

Mais une fois que j'ai trouvé qu'un alpha ou beta admettons soit différent de 0 avec le système vérifié. Comment puis-je trouver quel vecteur est combinaison linéaire des autres?

Donc pour finir, je ne peux pas considérer un vecteur (V3 par exemple) puis voir par exemple que V2 n'est pas combili de V3 et donc après avoir {V3,V2} puis dire que par exemple V4 n'est pas combili de V3 et V2 donc avoir {V3,V2,V4] ainsi de suite jusqu'à obtenir un ensemble de vecteurs tels que si j'ajoute un des autres restant ce n'est plus libre donc avoir une base?

[Kiocle]

C'est un de ceux dont le alpha est non qui est combinaison linéaire des autre vecteurs

[Ludo1be]

Donc après je dois refaire 2 systèmes dont le premier permettra de voir si le premier est LI des autres puis si le 2eme est LI des autres?
Long non? Pas plus simple en utilisant la méthode que j'ai dit si valide?

[Ludo1be]

Ici par exemple:
Je remarque que V1,V4 et V5 sont L.I.
Je me demande si V2 est L.I. de V1,V4 et V5.
En résolvant le système, je vois que oui.

Donc je peux dire que {V1,V2,V4,V5} est ma base car partie libre maximale (R4)
C'est correct normalement?

Mais en ayant pris V3 comme vecteur de base et après voir que V3 est Li de V1 qui eux sont L.I. de deux autres vecteurs, j'aurais eu 2 bases différentes mais ce serait tout aussi correct, non?


Désolé double post :mur:

[Kiocle]

Ta méthode fonctionne mais elle est à mon avis aussi longue (voir plus à mon avis), comment verifie tu rapidement qu'un vecteur est ou non combinaison linéaire de deux autres. Et ensuite tu recommences avec 3 vecteurs. De plus si tu commence avec un vecteur qui n'est pas CL des autre? Il faudrait recommencer le processus avec un nouveau vecteur de départ et tous les faire (Si j'ai bien compris ta méthode).

La tu résout un système si il y a un alpha non nul tu enlève ce vecteur, puis tu recommence avec les vecteurs restantes jusqu'a ce que tout tes coeff soit nul. Par exemple si est non nul dans l'exemple de Archibald, tu enlève V2. Et tu réessaie avec V1, V3, V4, V5

Après, l'utilisation de matrice permet de savoir très simplement combien de vecteur tu devras enlever.(calcul de rang). Mais pas (à ma connaissance) quel vecteur tu devras enlever.

Donc deux solutions : Soit tu met tes vecteurs côte à côte pour tatonner et voir comment faire une combinaison linéaire. Ce qui marche parfois.Et comme tu as fait utiliser des système plus simple pour voir si tu peut simplement trouver des vecteurs liés

Soit tu résout des systèmes (à l'aide de la matrice augmentée si besoin est).C'est la méthode de secour si tu n'arrive pas à faire des simplifications préalables.


La partie libre maximale étudie la liberté des ces vecteurs :
V1 = (1, 0, 0, 0), V2= (1, 0, 0, 0), V3 = (1, 0, 0, 0), V4 = (1, 0, 0, 0) vecteur à 4 coordonnées n'implique pas la liberté de ces vecteurs.
Il faut donc vérifier la liberté de tes vecteurs.
J'espère avoir pu aider.

[Kiocle]

Désoler pour le double post, mais je viens de (re)voir l'ennoncé, tu demande la dimension de l'espace vectoriel engendré par V1 ... V5,

Donc calcul de rang.
Tu considère la matrice M = (V1 V2 V3 V4 V5) et tu fait des opérations sur les lignes et les colonnes (avec un pivot de Gauss) pour obtenir une matrice où les combinaison linéaire seront evidentes.

et dim(vect(V1...V5)) = rg(M)
par contre tu ne sais pas quel vecteur est CL des autre.

[Archibald]

Bonjour,

ce qu'il faut savoir avec le système précédemment posé, c'est que le nombre d'inconnues est strictement supérieur au nombre d'équations donc le système est généralement indéterminé (une infinité de solutions, ici de combinaisons linéaires), voire impossible dans certains cas.