Base et noyau d'applications linéaires

[Diesel]

Bonjour à tous,

Je sais ce qu'est une base, je sais ce qu'est un noyau (en tout cas, j'en connais les définitions), mais malheureusement j'ai très souvent du mal à trouver les réponses aux questions demandant la base, le noyau et la dimension de ces deux choses sur base d'une application linéaire donnée. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer à partir de l'exemple suivant comment il faudrait que je résolve ce type d'exercice ?

Donner une base de ker(T) et de Im(T)


Pour le noyau, je sais que

mais je suis bloqué à ce niveau pour dire ce qu'est exactement le noyau. Lorsque le noyau n'est fait que de l'élément 0, j'arrive à me débrouiller, mais ici, ce n'est - on dirait - pas le cas. Pareil pour l'image, comment l'exprimer ? Et comment en donner une base aussi ?

Beaucoup de questions, je sais... Mais c'est assez flou pour moi.

Merci et bonne soirée

[Kiocle]

Bonjour,

Il faut paramétrer le système que tu obtient :

a=a
b=b
d=-1/2a
c = a+b

donc les élements du noyau appartiennent à vect((1,0,-1,1/2) , (0, 1, 1 ,0)).
Ainsie ((1,0,1,-1/2) , (0, 1, 1 ,0)) est une base du noyau.

Pour l'image c'est exactement vect((1, -1, 1), (0, -1, 1), (0, 1, -1), (2, 0, 0))
qui sont les vecteurs collones de la matrice associée. Sauf que ce n'est pas nécessairement une base il faut donc retirer des vecteurs liés jusqu'à obtenir une base de l'image .

[Diesel]

vect(...), est-ce une façon parmi d'autre de parler de l'enveloppe linéaire que forment ces vecteurs ? Et pour la remarque, oui, suffit pas d'avoir des vecteurs générateurs faut aussi qu'ils soient linéairement indépendant, si je me rappelle bien.

En tout cas merci pour ton aide, des fois, je vais vraiment chercher trop loin.

[Kiocle]

vect() représente l'espace que l'on peut décrire uniquement avec des combinaisons linéaires des vecteurs concernés. Je ne sais pas si c'est ce que tu appelle l'envellope linéaire.
(Ex vect((1,0), (0,1)) c'est le plan engendré par ces deux vecteur).

[Diesel]

Oui, c'est ça. Notre prof note ça L() ou > <. Je suppose que ce ne sont pas des notations et des appellations standards, ce qui explique que je ne trouvais pas beaucoup d'information en tapant enveloppe linéaire dans Google.

Merci pour toutes ces précisions.

[chan79]

Bonjour,

Il faut paramétrer le système que tu obtient :

a=a
b=b
d=-1/2a
c = a+b

donc les élements du noyau appartiennent à vect((1,0,-1,1/2) , (0, 1, 1 ,0)).
Ainsie ((1,0,-1,1/2) , (0, 1, 1 ,0)) est une base du noyau.
.

salut
signes à corriger :zen:

[Kiocle]

Merci, j'ai oublié de changer le signe en échangeant les vecteurs une première fois.

[Diesel]

Oui, j'avais remarqué ça, mais j'vais pas corriger celui qui m'aura sans doute fait réussir mon année :D