Bonjour,
J'aimerais résoudre ce système d'équations:
(x*A+y*B).(A-B)=0 (1)
(x*A+z*C).(A-C)=0 (2)
x+y+z=1 (3)
où
- x, y, z sont des simples nombres et sont les inconnues que je cherche
- A, B, C sont des points 3D dans l'espace
- le point (.) représent le dot product
Voici comment j'arrive à résoudre le système:
En transformant ma deuxième equation (2), j'arrive à l'exprimer à partir de "z":
1) (x*A).(A-C) + (z*C).(A-C) = 0
2) (A.A)*x - (A.C)*x + (A.C)z - (C.C)*z = 0
3) (A.A - A.C)*x + (A.C - C.C)*z = 0
4) z = (-(A.A - A.C)*x) / (A.C - C.C) = ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) (4)
Ensuite, je transforme mon équation (3) pour l'exprimer à partir de "y":
1) y = 1 - z - x (5)
Je remplace "z" par la équation (4):
2) y = 1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x (6)
Finalement, dans mon équation (1), je remplace "y" par l'équation (6):
1) (x*A + (1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x)*B).(A-B)=0
Finalement, je transforme mon équation pour l'exprimer à partir de x (je vous passe les détails de calcul):
2) x = (-A.B + B.B) / [A.A - A.B*((A.A - A.C)/(-A.C+C.C))-2*A.B+B.B*((A.A-A.C)/(-A.C+C.C))+B.B]
Une fois que j'ai la valeur de "x", je peux facilement calculer la valeur de "z" avec l'équation (4) et idem pour "y" avec l'équation (5).
J'espère que mon raisonnement est correcte :rulaiz: ? (il y a peut-être quelques erreur de signe mais ce n'est pas très important pour ma question).
Questions:
Mon but étant d'avoir les formules les plus simples pour calculer x, y et z. Malheureusement, la formule pour calculer x est immense.
Q1: Est-ce qu'il est possible de simplifier cette équation ?
Q2: Est-ce qu'il existe un autre outil pour résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues qui me donnerais une formule plus simple ?
Info: ce n'est pas un devoir pour l'école. Je suis libre d'utiliser tout ce que je veux :happy2:
Merci d'avance.
3 équations à 3 inconnues: simplification
9 messages
- Page 1 sur 1
par Ericovitchi » 21 Aoû 2013, 21:42
normalement si A est différent de B et C, ton système s'écrit :
Ax+By=0
Ax+Cz=0
x+y+z=1
et les solutions sont (à condition que AB+AC-BC soit différent de 0) :
x= -BC/(AB+AC-BC) ; y= AC/(AB+AC-BC) ; z= AB/(AB+AC-BC)
Ax+By=0
Ax+Cz=0
x+y+z=1
et les solutions sont (à condition que AB+AC-BC soit différent de 0) :
x= -BC/(AB+AC-BC) ; y= AC/(AB+AC-BC) ; z= AB/(AB+AC-BC)
par tototo » 22 Aoû 2013, 11:19
Bonjour,
J'aimerais résoudre ce système d'équations:
(x*A+y*B).(A-B)=0 (1)
(x*A+z*C).(A-C)=0 (2)
x+y+z=1 (3)
où
- x, y, z sont des simples nombres et sont les inconnues que je cherche
- A, B, C sont des points 3D dans l'espace
- le point (.) représent le dot product
x=y*(-B/A) (1)si A-B different de 0
(3) (-y*B+Ay-A)/A=z
(2) -(B*A*y)+(-CBy+ACy-AC)=0 si (A-C) different de 0
en remplacant dans (1) on obtient le x
en remplacant dans le (3) on obtient z
Voici comment j'arrive à résoudre le système:
En transformant ma deuxième equation (2), j'arrive à l'exprimer à partir de "z":
1) (x*A).(A-C) + (z*C).(A-C) = 0
2) (A.A)*x - (A.C)*x + (A.C)z - (C.C)*z = 0
3) (A.A - A.C)*x + (A.C - C.C)*z = 0
4) z = (-(A.A - A.C)*x) / (A.C - C.C) = ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) (4)
Ensuite, je transforme mon équation (3) pour l'exprimer à partir de "y":
1) y = 1 - z - x (5)
Je remplace "z" par la équation (4):
2) y = 1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x (6)
Finalement, dans mon équation (1), je remplace "y" par l'équation (6):
1) (x*A + (1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x)*B).(A-B)=0
Finalement, je transforme mon équation pour l'exprimer à partir de x (je vous passe les détails de calcul):
2) x = (-A.B + B.B) / [A.A - A.B*((A.A - A.C)/(-A.C+C.C))-2*A.B+B.B*((A.A-A.C)/(-A.C+C.C))+B.B]
Une fois que j'ai la valeur de "x", je peux facilement calculer la valeur de "z" avec l'équation (4) et idem pour "y" avec l'équation (5).
J'espère que mon raisonnement est correcte :rulaiz: ? (il y a peut-être quelques erreur de signe mais ce n'est pas très important pour ma question).
Questions:
Mon but étant d'avoir les formules les plus simples pour calculer x, y et z. Malheureusement, la formule pour calculer x est immense.
Q1: Est-ce qu'il est possible de simplifier cette équation ?
Q2: Est-ce qu'il existe un autre outil pour résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues qui me donnerais une formule plus simple ?
Info: ce n'est pas un devoir pour l'école. Je suis libre d'utiliser tout ce que je veux :happy2:
Merci d'avance.[/quote]
J'aimerais résoudre ce système d'équations:
(x*A+y*B).(A-B)=0 (1)
(x*A+z*C).(A-C)=0 (2)
x+y+z=1 (3)
où
- x, y, z sont des simples nombres et sont les inconnues que je cherche
- A, B, C sont des points 3D dans l'espace
- le point (.) représent le dot product
x=y*(-B/A) (1)si A-B different de 0
(3) (-y*B+Ay-A)/A=z
(2) -(B*A*y)+(-CBy+ACy-AC)=0 si (A-C) different de 0
en remplacant dans (1) on obtient le x
en remplacant dans le (3) on obtient z
Voici comment j'arrive à résoudre le système:
En transformant ma deuxième equation (2), j'arrive à l'exprimer à partir de "z":
1) (x*A).(A-C) + (z*C).(A-C) = 0
2) (A.A)*x - (A.C)*x + (A.C)z - (C.C)*z = 0
3) (A.A - A.C)*x + (A.C - C.C)*z = 0
4) z = (-(A.A - A.C)*x) / (A.C - C.C) = ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) (4)
Ensuite, je transforme mon équation (3) pour l'exprimer à partir de "y":
1) y = 1 - z - x (5)
Je remplace "z" par la équation (4):
2) y = 1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x (6)
Finalement, dans mon équation (1), je remplace "y" par l'équation (6):
1) (x*A + (1 - ( ((A.A-A.C)*x) / (-A.C + C.C) ) - x)*B).(A-B)=0
Finalement, je transforme mon équation pour l'exprimer à partir de x (je vous passe les détails de calcul):
2) x = (-A.B + B.B) / [A.A - A.B*((A.A - A.C)/(-A.C+C.C))-2*A.B+B.B*((A.A-A.C)/(-A.C+C.C))+B.B]
Une fois que j'ai la valeur de "x", je peux facilement calculer la valeur de "z" avec l'équation (4) et idem pour "y" avec l'équation (5).
J'espère que mon raisonnement est correcte :rulaiz: ? (il y a peut-être quelques erreur de signe mais ce n'est pas très important pour ma question).
Questions:
Mon but étant d'avoir les formules les plus simples pour calculer x, y et z. Malheureusement, la formule pour calculer x est immense.
Q1: Est-ce qu'il est possible de simplifier cette équation ?
Q2: Est-ce qu'il existe un autre outil pour résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues qui me donnerais une formule plus simple ?
Info: ce n'est pas un devoir pour l'école. Je suis libre d'utiliser tout ce que je veux :happy2:
Merci d'avance.[/quote]
par zenux » 23 Aoû 2013, 18:28
Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre vos deux réponses.Peut-être que je me suis mal exprimé pour définir mon équation.
Comme je le dit dans mon premier message, A, B et C sont des points/vecteurs 3D. Exemple: A(2, 3, -6).
Donc si je prends l'équation de Ericovitchi: Ax+By=0, ça ne me semble pas juste.
En effet, on multiplie les 3 coordonnées du vecteur A par x et pareil pour B avec y. Ensuite on additionne les deux vecteurs obtenus et on devrais obtenir un autre vecteur et non pas un simple nombe comme 0.
Je n'arrive pas à comprendre vos deux réponses.Peut-être que je me suis mal exprimé pour définir mon équation.
Comme je le dit dans mon premier message, A, B et C sont des points/vecteurs 3D. Exemple: A(2, 3, -6).
Donc si je prends l'équation de Ericovitchi: Ax+By=0, ça ne me semble pas juste.
En effet, on multiplie les 3 coordonnées du vecteur A par x et pareil pour B avec y. Ensuite on additionne les deux vecteurs obtenus et on devrais obtenir un autre vecteur et non pas un simple nombe comme 0.
par Ericovitchi » 23 Aoû 2013, 22:57
Pourtant si A et différent de B, (x*A+y*B).(A-B)=0 est équivalent à x*A+y*B=0
donc j'ai du mal à comprendre ce que tu peux ne pas trouver juste là dedans ?
Il faut dire que ton énoncé n'est pas bien clair. tu as écris "A, B, C sont des points 3D dans l'espace" est que en écrivant x*A+y*B tu as voulu écrire
?
Qu'est-ce que tu entends par A-B ? on ne peut pas faire la différence entre deux points de l'espace.
tu devrais clarifier un peu ton énoncé car je vois que l'on ne s'est pas compris.
donc j'ai du mal à comprendre ce que tu peux ne pas trouver juste là dedans ?
Il faut dire que ton énoncé n'est pas bien clair. tu as écris "A, B, C sont des points 3D dans l'espace" est que en écrivant x*A+y*B tu as voulu écrire
Qu'est-ce que tu entends par A-B ? on ne peut pas faire la différence entre deux points de l'espace.
tu devrais clarifier un peu ton énoncé car je vois que l'on ne s'est pas compris.
par zenux » 24 Aoû 2013, 08:31
Apparement, je ne suis pas très doué en notation mathématique :(. Voici donc des exemples:
x*A: si x=2 et A = (3, 0, -2), alors on obtient: (2*3, 2*0, 2*-2) = (6, 0, -4)
A-B: si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: (2, -4, -9).
A+B: si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: (4, 4, 5)
A.B (dot product): si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: 3*1+0*4+-2*7=3+0+-14=-11
Voici un exemple complet avec l'équation: (x*A+y*B).(A-B)=0
1) (3*(2, 3, 0) + -8*(1, 1, 0)).((2, 3, 0) - (1, 1, 0) = 0
2) ((6, 9, 0) + (-8, -8, 0)).(1, 2, 0)=0
3) (-2, 1, 0).(1, 2, 0)=0
4) -2*1+1*2=0
5) 0=0
x*A: si x=2 et A = (3, 0, -2), alors on obtient: (2*3, 2*0, 2*-2) = (6, 0, -4)
A-B: si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: (2, -4, -9).
A+B: si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: (4, 4, 5)
A.B (dot product): si A = (3, 0, -2) et B = (1, 4, 7), alors on obtient: 3*1+0*4+-2*7=3+0+-14=-11
Voici un exemple complet avec l'équation: (x*A+y*B).(A-B)=0
1) (3*(2, 3, 0) + -8*(1, 1, 0)).((2, 3, 0) - (1, 1, 0) = 0
2) ((6, 9, 0) + (-8, -8, 0)).(1, 2, 0)=0
3) (-2, 1, 0).(1, 2, 0)=0
4) -2*1+1*2=0
5) 0=0
par Black Jack » 24 Aoû 2013, 09:57
Avec A et B des vecteurs définis par leurs 3 coordonnées dans un repère déterminé : A(a1 , a2, a3) ; B(b1 , b2 , b3)
(x*A+y*B).(A-B)=0
x.A² - x*A.B + y*A.B - B²y = 0
x(a1²+a2²+a3²) + (y-x).(a1b1 + a2b2 + a3b3) - y(b1²+b2²+b3²) = 0
x(a1²+a2²+a3²-a1b1 - a2b2 - a3b3) + y(a1b1 + a2b2 + a3b3 - b1² - b2² - b3²) = 0 (1')
*****
En faisant pareil avec la relation 2 avec C(c1 , c2 , c3)
on devrait arriver à :
x(a1²+a2²+a3²-a1c1 - a2c2 - a3c3) + z(a1c1 + a2c2 + a3c3 - c1² - c2² - c3²) = 0 (2')
*****
On arrive alors au système :
x(a1²+a2²+a3²-a1b1 - a2b2 - a3b3) + y(a1b1 + a2b2 + a3b3 - b1² - b2² - b3²) = 0
x(a1²+a2²+a3²-a1c1 - a2c2 - a3c3) + z(a1c1 + a2c2 + a3c3 - c1² - c2² - c3²) = 0
x+y+z = 1
Système de 3 équations à 3 inconnues x, y et z... qui devrait être facile à résoudre.
Quasi immédiat si on a les valeurs numériques de a1, a2 ..., c3.
Sinon un poil plus long, mais sans difficulté.
*****
Calculs non vérifiés. :zen:
(x*A+y*B).(A-B)=0
x.A² - x*A.B + y*A.B - B²y = 0
x(a1²+a2²+a3²) + (y-x).(a1b1 + a2b2 + a3b3) - y(b1²+b2²+b3²) = 0
x(a1²+a2²+a3²-a1b1 - a2b2 - a3b3) + y(a1b1 + a2b2 + a3b3 - b1² - b2² - b3²) = 0 (1')
*****
En faisant pareil avec la relation 2 avec C(c1 , c2 , c3)
on devrait arriver à :
x(a1²+a2²+a3²-a1c1 - a2c2 - a3c3) + z(a1c1 + a2c2 + a3c3 - c1² - c2² - c3²) = 0 (2')
*****
On arrive alors au système :
x(a1²+a2²+a3²-a1b1 - a2b2 - a3b3) + y(a1b1 + a2b2 + a3b3 - b1² - b2² - b3²) = 0
x(a1²+a2²+a3²-a1c1 - a2c2 - a3c3) + z(a1c1 + a2c2 + a3c3 - c1² - c2² - c3²) = 0
x+y+z = 1
Système de 3 équations à 3 inconnues x, y et z... qui devrait être facile à résoudre.
Quasi immédiat si on a les valeurs numériques de a1, a2 ..., c3.
Sinon un poil plus long, mais sans difficulté.
*****
Calculs non vérifiés. :zen:
par Ericovitchi » 24 Aoû 2013, 14:12
tu parlais de vecteurs et de produit scalaire alors en fait ?
Ton énoncé était :
.(\vec{OA}-\vec{OB})=0)
(1)
.(\vec{OA}-\vec{OC})=0)
(2)
x+y+z=1 (3)
Et tu avais les coordonnées de A;B et C ?
heureusement que Black jack est là !
Ton énoncé était :
x+y+z=1 (3)
Et tu avais les coordonnées de A;B et C ?
heureusement que Black jack est là !
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