Doraki a écrit:j'vois pas trop comment tu te sers de borel-cantelli.
Avec l'hyp. sur la proba que P(x divisible par n) = 1/n, alors on a que P(x divisible par pq) = P(x divisible par p)*P(x divisible par q) si p et q premiers (entre eux).
Donc les évènements A_p : p divise x sont indépendants.
Or la somme des P(A_p) = infini.
Donc par Borel-Cantelli, avec proba 1 il existe une infinité de p premier tel que A_p est réalisé, autrement dit avec proba 1 un entier est divisible par une infinité de nombre premiers. Donc il existe au moins un tel entier non nul. Contradiction.
Précision:
Dans mon cours (référence : poly de J-F Le Gall Intégration, p.116 lemme 9.3.1) il y a deux énoncés de Borel Cantelli :
1) Si A_i événements tels que somme P(A_i) < infini, alors p.s. un nombre fini de A_i est réalisé
2) Si A_i indépendants tels que somme P(A_i) = infini, alors p.s. une infinité de A_i est réalisé.
Ici j'utilise 2).