Nombres complexes

[yassine94]

bonjour
pouvez vous m'aidez a résoudre cet exercice

soient z=;)(2-;)2)-i;)(2+;)2););) un nombre complexe d'argument ;) ;)[-;);;)[
1)calculez z² et z;).
2) en déduire:
a)le modul |z|de z.
b)l'argument de z;) dans l'intervalle [-;);;)[.
c)qu'il existe un entier relatif k ;) ;) tel que ;)=;)/8+k;)/2.
3)calculez cos;) et sin;).
4)en déduire que: -;)/2;););)0.
5)trouvez l'argument ;) de z.
et merci d'avance

[Ludo1be]

Commence par écrire ton nombre complexe sous forme exponentielle ou trigonométrique.
Ensuite, pour 1) applique la formule de moivre notamment:
Si z = |z|(cos;)+isin;))
z^n = |z|^n(cosn;)+isinn;))

Commence par faire ça et essaye la suite, c'est pas plus dur.

[yassine94]

oui merci mais tu peux m'aidez a commencez l'exercice si ta dérange pas.svp
et merci encore

[Black Jack]

z=;)(2-;)2)-i;)(2+;)2)

z² = (;)(2-;)2))² + (i;)(2+;)2))² - 2i.;)(2-;)2);)(2+;)2)
z² = 2-V2 - (2+V2) - i.2.V2
z² = -2V2 - i.2V2
z² = -2V2.(1 + i)

z^4 = z²*z²
z^4 = (-2V2)².(1 + i)²
z^4 = 8.(1 + i)²
z^4 = 8(1 - 1 + 2i)
z^4 = 16.i

Continue ...

:zen:

[yassine94]

z² = (;)(2-;)2))² + (i;)(2+;)2))² - 2i.;)(2-;)2);)(2+;)2)
z² = 2-V2 - (2+V2) - i.2.V2
z² = -2V2 - i.2V2
z² = -2V2.(1 + i)

z^4 = z²*z²
z^4 = (-2V2)².(1 + i)²
z^4 = 8.(1 + i)²
z^4 = 8(1 - 1 + 2i)
z^4 = 16.i|z|=;)(;)(2-;)2))²+(;)(2+;)2))²
|z|=;)(2-;)2+2+;)2)
=;)4=2
2) j'ai trouvez que l'argument de z;) est ;)/2.
il me reste la question 3) comment je fais pour montrer ;)=;)/8+k;)/2 pouvez vous m'aidez

[Maxmau]

z² = (;)(2-;)2))² + (i;)(2+;)2))² - 2i.(2-;)2);)(2+;)2)
z² = 2-V2 - (2+V2) - i.2.V2
z² = -2V2 - i.2V2
z² = -2V2.(1 + i)

z^4 = z²*z²
z^4 = (-2V2)².(1 + i)²
z^4 = 8.(1 + i)²
z^4 = 8(1 - 1 + 2i)
z^4 = 16.i|z|=;)(;)(2-;)2))²+(;)(2+;)2))²
|z|=;)(2-;)2+2+;)2)
=;)4=2
2) j'ai trouvez que l'argument de z;) est /2.
il me reste la question 3) comment je fais pour montrer =;)/8+k;)/2 pouvez vous m'aidez

bj
plus simplement: z^4 = 16.i entraine |z|^4 = 16 d'où |z|=2
pour l'argument écris z sous forme trigonométrique et n'oublie pas que 2 complexes sont égaux si leurs modules sont égaux et leurs argument égaux à 2kPi près.

[Black Jack]

C'est assez élémentaire, tu dois savoir faire cela sans aide.

2)

z^4 = 16.i

z^4 = 16.e^(Pi/2 + 2k.Pi)

z = (16)^(1/4) * e^(Pi/8 + k.Pi/2)

z = 2 * e^(Pi/8 + k.Pi/2)

|z| = 2 et theta = Pi/8 + k.Pi/2 avec k dans Z
*****
3 , 4 , 5)

z=;)(2-;)2)-i;)(2+;)2)

z = 2.[(1/2).;)(2-;)2) - i.(1/2).;)(2+;)2)]

cos(theta) = (1/2).;)(2-;)2) > 0 et sin(theta) = -(1/2).;)(2+;)2) < 0 ---> On est dans le 4eme quadrant et donc -Pi/2 < theta < 0

Avec theta = Pi/8 + k.Pi/2, il faut donc choisir k = -1 ---> theta = Pi/8 - Pi/2 = -3Pi/8
*****

Il te reste à comprendre ce qu'il y a ci-dessus ... et puis arriver ensuite à le refaire seul.

:zen:

[yassine94]

merci beaucoup beaucoup beaucoup encore :we: