Fonctions continues

[OrsayMPI]

Bonjour,

Je travaille actuellement un cours sur les fonctions continues et il y a une partie que je n'arrive pas à comprendre.

Ca dit :

La fonction f : R dans R définie par f(x) = x² est continue sur R. En effet, si a appartient à R, on a :


| f(x) - f(a) | = | x - a | | x + a | <= | x - a |² + 2|a||x - a|

D'où sort le | x - a |² + 2|a||x - a| ? Pourquoi ont - ils mit ça et pas (| x - a | | x + a |)² ou autre chose par exemple ? Pourquoi cette valeur là ?

Ensuite, ça dit :

Soit Epsilon > 0. On a :

| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon

Je n'ai absolument rien compris. D'abord pourquoi | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) et ensuite en quoi l'un applique l'autre.

Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Bonjour,

Je travaille actuellement un cours sur les fonctions continues et il y a une partie que je n'arrive pas à comprendre.

Ca dit :

La fonction f : R dans R définie par f(x) = x² est continue sur R. En effet, si a appartient à R, on a :


| f(x) - f(a) | = | x - a | | x + a | 0. On a :

| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon

Je n'ai absolument rien compris. D'abord pourquoi | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) et ensuite en quoi l'un applique l'autre.

Merci d'avance pour votre aide.

salut
vois avec x+a=x-a+2a

[Nightmare]

Pour montrer la continuité de f(x) en a on veut pouvoir montrer qu'on peut rendre la distance entre f(x) et f(a) aussi petite qu'on veut en choisissant x suffisement proche de a, on est donc amené à travailler la quantité |f(x)-f(a)| à l'aide de la quantité |x-a| ( |a - b| représentant la distance entre a et b ) d'où l'idée de faire apparaître cette dernière quantité et regarder comment la choisir pour rendre la première inférieure à n'importe quelle valeur fixée à l'avance ( epsilon ).

[OrsayMPI]

Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le

| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon

Comment arrive - t - on à déterminer que | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) ?

[chan79]

[quote="OrsayMPI"]Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le

| x - a | 0
supposons que |x-a| soit plus petit que 1 et que

on a les inégalités:




comme tous les termes sont positifs, on peut multiplier membre à membre

[Nightmare]

Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le

| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon

Comment arrive - t - on à déterminer que | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) ?

On ne le détermine pas, on suppose qu'on l'a.

[deltab]

Bonjour.

Dans ce genre de calcul, montrer que , on démarre de et on essaie par majoration successives à avoir . On peut être amené a faire des majorations de du type afin de majorer certaines expressions dans les majorations successives de . En prenant , on aura:
.
n'est valable que l'on tient compte des majorations faites sur .
Si on avait émis l'hypothèse , il faudra changer et prendre

Reprenons l'exemple

Si l'on suppose que , alors et

Pour avoir , il suffit que et pour cela prendre

Remarques:

On aurait pu supposer que et dans ce cas et
.
On prendra dans ce cas

[Paulinepan]

Bonjour.

Dans ce genre de calcul, montrer que , on démarre de et on essaie par majoration successives à avoir . On peut être amené a faire des majorations de du type afin de majorer certaines expressions dans les majorations successives de . En prenant , on aura:
.
n'est valable que l'on tient compte des majorations faites sur .
Si on avait émis l'hypothèse , il faudra changer et prendre

Reprenons l'exemple

Si l'on suppose que , alors et

Pour avoir , il suffit que et pour cela prendre

Remarques:

On aurait pu supposer que et dans ce cas et
.
On prendra dans ce cas

Bonjour,
C'est très compliqué!
Je ne peux pas répondre.
cadeau de no;)l