Intégration et sommation : Quelle relation ?

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

Peut-on affirmer la chose suivante ?

:



Peut-on prolonger cette définition au corps des réels ? (sur lequel seraient alors définis a et b)

Merci

[adrien69]

Bonjour à tous et à toutes !

Peut-on affirmer la chose suivante ?

:



Peut-on prolonger cette définition au corps des réels ? (sur lequel seraient alors définis a et b)

Merci

C'est faux, ça diverge ton machin, violemment même. J'écris ce qui est bon en-dessous.


Et voilà ça devient ok pour tout a et tout b.

[adrien69]

C'était mon millième message :')

[upium666]

C'est faux, ça diverge ton machin, violemment même. J'écris ce qui est bon en-dessous.


Et voilà ça devient ok pour tout a et tout b.

De quel principe êtes-vous parti ?
Comment avez-vous fait ?
Comment puis-ton vérifier ? :p

C'était mon millième message :')

hahaha (y)

[Nightmare]

C'est faux, ça diverge ton machin, violemment même. J'écris ce qui est bon en-dessous.


Et voilà ça devient ok pour tout a et tout b.

Pour f=1 ton truc donne b-a = 1, pas ok!

[DamX]

C'est faux, ça diverge ton machin, violemment même. J'écris ce qui est bon en-dessous.

En effet il manque un petit (b-a) :



et pour répondre à Upium, pour comprendre intuitivement d'où ça sort il faut revenir à l'explication graphique/géométrique de l'intégrale : c'est l'aire sous la courbe. La somme elle approxime cette aire en sommant l'aire de rectangles "proches" de la courbe (voir dessin http://www.vias.org/calculus/img/04_integration-10.gif). Pour un n donné, on découpe l'intervalle [a,b] en n intervalle de longueur (b-a)/n, dont les coordonnées sont donc les a+(b-a)*k/n, et on accroche un coin supérieur du rectangle sur la courbe. L'aire de chaque rectangle est donc largeur * hauteur = (b-a)n * f(a+(b-a)*k/n), et on en fait la somme. Quand n va tendre vers l'infini, les rectangles sont de plus en plus fin et tu vois que l'aire des rectangles converge vers l'aire sous la courbe.

et oui c'est valable pour a et b réels, pas seulement dans Z.

Ca c'est pour l'intuition. Après si tu veux plus de détails techniques il faut regarder la construction de l'intégrale de Riemann.

Damien

[upium666]

En effet il manque un petit (b-a) :



et pour répondre à Upium, pour comprendre intuitivement d'où ça sort il faut revenir à l'explication graphique/géométrique de l'intégrale : c'est l'aire sous la courbe. La somme elle approxime cette aire en sommant l'aire de rectangles "proches" de la courbe (voir dessin http://www.vias.org/calculus/img/04_integration-10.gif). Pour un n donné, on découpe l'intervalle [a,b] en n intervalle de longueur (b-a)/n, dont les coordonnées sont donc les a+(b-a)*k/n, et on accroche un coin supérieur du rectangle sur la courbe. L'aire de chaque rectangle est donc largeur * hauteur = (b-a)n * f(a+(b-a)*k/n), et on en fait la somme. Quand n va tendre vers l'infini, les rectangles sont de plus en plus fin et tu vois que l'aire des rectangles converge vers l'aire sous la courbe.

et oui c'est valable pour a et b réels, pas seulement dans Z.

Ca c'est pour l'intuition. Après si tu veux plus de détails techniques il faut regarder la construction de l'intégrale de Riemann.

Damien

D'accord, j'aimerais en savoir plus, merci :we:
Question bonus, pour le fun :ptdr: : Est-ce qu'on peut interpréter le comme étant le de l'intégrale ?
Merci

[adrien69]

Pour f=1 ton truc donne b-a = 1, pas ok!

Ouuuuuups !!!!

[vincentroumezy]

D'accord, j'aimerais en savoir plus, merci :we:
Question bonus, pour le fun :ptdr: : Est-ce qu'on peut interpréter le comme étant le de l'intégrale ?
Merci

Ouais, d'une certaine manière,car le f(x)dx est l'aire du rectangle de base de longueu dx et de hauteur f(x) (de manière approchée, hein), et le (b-a)/n est le "pas" de décalage et représente ainsi la base des rectangles.

[upium666]

Peut-on alors après cette discussion convenir d'une définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle donné tout comme il a déjà été fait avec la notion de dérivée ?

Je veux dire :
On définit :

Peut-on de manière analogue s'accorder à définir la chose suivante :



?

[vincentroumezy]

C'est ainsi que Riemann a procédé, historiquement.
Maintenant on fait ça avec des fonctions en escalier, mais c'est "pareil".