NxN dénombrable

[Archytas]

Bonsoir, parcours en diagonale (0,0) (1,0) (0,1) (2,0)(1,1)(0,2) (3,0)(1,2)(2,1)(0,3) (4,0)... considère alors la position des couples dans cette liste, cela va te donner le lien fonctionnel établi par g.

Après, pour répondre à Nightmare, regarde combien de couples sur une diagonale "i" et la propriété de ces couples sur cette diagonale. Bonne recherche.

Sur la i ème diagonale il y a i+1 couples. Qu'est-ce que t'appelles considérer la position des couples dans la liste ?

[Nightmare]

Oui le graphe je l'ai déjà fait mais je vais pas tout faire jusqu'à (17,48), j'imagine que tu veux que je trouve une règle spéciale mais je vois vraiment pas... Et je vois toujours pas le rapport entre la formule et le graphe.

Le but est évidemment de trouver un moyen de calculer le numéro sans avoir à continuer le graphe. C'est pas compliqué il suffit de comprendre comment ça fonctionne. Essaye avec un couple plus petit, par exemple (5,9)

[jlb]

Sur la i ème diagonale il y a i+1 couples. Qu'est-ce que t'appelles considérer la position des couples dans la liste ?

(0,0) en première position
(1,0) en deuxième
(0,1) en troisième
(2,0) en quatrième
(1,1) en cinquième
.
.
.
compare la position et l'antécédent par g d'un de ces couples!

après pour un couple donné, il est sur quelle diagonale? quelles diagonales dois-tu parcourir complétement pour l'atteindre et donc combien de couples? observe bien le graphe, cela doit t'aider!!! diagonal"0" un couple, diagonal"1" deux couples, diagonal"2" 3 couples.... [et 1+2+3+...n=?, donne le lien avec l'expression de g]

[alm]

Salut!
Si on prends un couple la chose importante en relation avec le graphe est l'entier
Les couples qui correspondent au même donné sont sur la droite d'équation
Pour un , soit le nombre de couples tel que:

Ainsi par exemple ; ; etc ... on peut te laisser le sooin de calculer toi même dans le cas général.

Le rang d'un couple tel que avec est
est à trouver ....

Essaye d'abord de comprendre tout ça , et on verra comment continuer

Le dessin est important pour pouvoir comprendre.

[wserdx]

Je pense qu'il y a juste une petite erreur dans la correction.
La formule qu'on devrait avoir qui serait compatible avec les premières valeurs à
serait

[jlb]

Je pense qu'il y a juste une petite erreur dans la correction.
La formule qu'on devrait avoir qui serait compatible avec les premières valeurs à
serait

oui, ça c'est bien vu!! c'est plus cohérent avec la liste donnée au départ (mais il faut lire toute la correction :hum:...)

sinon, pour m entier appartenant à [0,5n(n+1),0,5n(n+3)] g(m)= (0,5n(n+3)-m,m-0,5n(n+1))

avec pour fonction réciproque f(n,k)=0,5(n+k)(n+k+1) + k

euh, enfin, j'espère ne pas dire encore de bêtise.

[Archytas]

Bin lorsque la ième diagonale est complétée il y a (i+1)*(i+2)/2 points de placés mais je vois pas en quoi ça nous aide. Merci wserdx, ça ça me génait. Je comprenais pas le lien formule-graphe.
Donc pour notre couple (17,48) on a s=17+48=65 si bien qu'on est sur la 65 ème diagonale. Si bien qu'il y a (64+1)*(64+2)/2=2145 nombres placés avant. De plus il est sur la 17 ème colonne ce qui correspond à 65-17=48 numéros supplémentaires placés et donc ça correspond au numéros 2145+48=2193. C'est ça ?

[jlb]

Bin lorsque la ième diagonale est complétée il y a (i+1)*(i+2)/2 points de placés mais je vois pas en quoi ça nous aide. Merci wserdx, ça ça me génait. Je comprenais pas le lien formule-graphe.
Donc pour notre couple (17,48) on a s=17+48=65 si bien qu'on est sur la 65 ème diagonale. Si bien qu'il y a (64+1)*(64+2)/2=2145 nombres placés avant. De plus il est sur la 17 ème colonne ce qui correspond à 65-17=48 numéros supplémentaires placés et donc ça correspond au numéros 2145+48=2193. C'est ça ?

le résultat est juste mais il y a une petite imprécision: tu rajoutes 49 couples et cela correspond au nombre 2145 + 49 -1 (le nombre correspond à sa position - 1 ( tu enlèves le couple (0,0)))

Bravo, essaie le défi de Chan pour voir si tu as bien compris le truc, le principe est le même.

[Archytas]

le résultat est juste mais il y a une petite imprécision: tu rajoutes 49 couples et cela correspond au nombre 2145 + 49 -1 (le nombre correspond à sa position - 1 ( tu enlèves le couple (0,0)))

Bravo, essaie le défi de Chan pour voir si tu as bien compris le truc, le principe est le même.

Je comprends pas le truc du (0,0), je l'ai déjà compté il me semble.
J'ai compris la chose en explicitant la bijection, je trouve ça carrément plus simple. On peut montrer que chaque élément de l'axe des absisses (n,0) à pour image (par la bijection disons h) n(n+1)/2 à partir de ce moment on rajoute k a celui de coordonnées (n,k) si bien qu'on a h(n,k)=n(n+1)+k. En "bijectant" on a la chose avec g. C'est ça que je comprenais pas entre autre. Y a pas mieux que prendre un papier et un crayon et de s'y mettre sérieusement. Merci pour votre guidage. Je sais pas de quel niveau est ce pdf mais pour le mien il est loin d'être suffisament explicite. Et donc wserdx, je pense qu'il n'y a pas de problème vis à vis de g(n(n+1)/2+k)=(n,k). Je vais essayer la chose de chan79, c'est la même chose à part qu'on fait des zig zag, nan ?

[jlb]

Je comprends pas le truc du (0,0), je l'ai déjà compté il me semble.
J'ai compris la chose en explicitant la bijection, je trouve ça carrément plus simple. On peut montrer que chaque élément de l'axe des absisses (n,0) à pour image (par la bijection disons h) n(n+1)/2 à partir de ce moment on rajoute k a celui de coordonnées (n,k) si bien qu'on a h(n,k)=n(n+1)/2+k. En "bijectant" on a la chose avec g. C'est ça que je comprenais pas entre autre. Y a pas mieux que prendre un papier et un crayon et de s'y mettre sérieusement. Merci pour votre guidage. Je sais pas de quel niveau est ce pdf mais pour le mien il est loin d'être suffisament explicite. Et donc wserdx, je pense qu'il n'y a pas de problème vis à vis de g(n(n+1)/2+k)=(n,k). Je vais essayer la chose de chan79, c'est la même chose à part qu'on fait des zig zag, nan ?

ton couple (17,48) est en ordonnée 48 donc pour l'atteindre après avoir passé les diagonales précédentes tu montes de 49 couples!! Donc le couple (17,48) est le 2194 couples de la liste, cela correspond au nombre entier 2193 puisque(0,0) est identifié avec 0 avec ma vision de la situation, mais ton explication tient le coup si tu as tenu compte du décalage avant ( pouvais pas deviner )
oui, pour le défi c'est presque pareil, tu remplis les diagonales en partant du couple sur l'axe des ordonnées puis en partant du couple sur l'axe des abscisses et ainsi de suite, il n'y a pas grand trop de choses à modifier
Bon courage. Moi, j'ai mis du temps à comprendre le truc, il y a longtemps....

[Archytas]

ton couple (17,48) est en ordonnée 48 donc pour l'atteindre après avoir passé les diagonales précédentes tu montes de 49 couples!! Donc le couple (17,48) est le 2194 couples de la liste, cela correspond au nombre entier 2193 puisque(0,0) est identifié avec 0 avec ma vision de la situation, mais ton explication tient le coup si tu as tenu compte du décalage avant ( pouvais pas deviner )
oui, pour le défi c'est presque pareil, tu remplis les diagonales en partant du couple sur l'axe des ordonnées, il n'y a pas grand chose à modifier.
Bon courage. Moi, j'ai mis du temps à comprendre le truc, il y a longtemps....

Haha, penses-tu ! Je galère aussi mais ça commence à venir, j'ai presque réussi le défi de Chan, (enfin j'ai trouvé les relations de récurrences mais faut les résoudre maintenant :ptdr: ).
Et oui désolé j'avais déjà fait le décalage je comptais (0,0) comme le premier couple (ainsi que {(0,0)}) comme la première diagonale, j'avais pas précisé :hum: !

[Archytas]

Dans le même pdf, pour la solution de l'exercice 8, qu'est ce que ça signifie dans la solution "en juxtaposant les fn..." ?

[jlb]

Dans le même pdf, pour la solution de l'exercice 8, qu'est ce que ça signifie dans la solution "en juxtaposant les fn..." ?

pour moi, cela signifie: " en considérant la fonction f ainsi définie"( à partir des fn)

[Archytas]

pour moi, cela signifie: " en considérant la fonction f ainsi définie"( à partir des fn)

Désolé, ça m'aide pas à mieux comprendre... ça sert à quoi de disjoindre les Fn ? Décidément je comprends aucune démnstration de ce pdf.

[jlb]

Désolé, ça m'aide pas à mieux comprendre... ça sert à quoi de disjoindre les Fn ? Décidément je comprends aucune démnstration de ce pdf.

pour "différencier" les éléments de UEn appartenant à "plusieurs En" sinon ce serait difficile de définir f :un même élément pourrait avoir plusieurs images: c'est pas possible!!

[jlb]

Désolé, ça m'aide pas à mieux comprendre... ça sert à quoi de disjoindre les Fn ? Décidément je comprends aucune démnstration de ce pdf.

c'est pour avoir le caractère injectif: quand tu "travailles" sur un Fn, f est injective ( c'est Ok, ça?)

par contre si tu considères f sur F1UF2, rien ne te garantie que f sera injective: tu peux avoir x dans F1 et y dans F2 tels que f1(x)=f2(y) mais en associant à un élément de Fn son ensemble par l'intermédiaire du n dans Fn et son image par fn, cela devient injectif.
C'est plus clair? Bon courage.

[Archytas]

c'est pour avoir le caractère injectif: quand tu "travailles" sur un Fn, f est injective ( c'est Ok, ça?)

par contre si tu considères f sur F1UF2, rien ne te garantie que f sera injective: tu peux avoir x dans F1 et y dans F2 tels que f1(x)=f2(y) mais en associant à un élément de Fn son ensemble par l'intermédiaire du n dans Fn et son image par fn, cela devient injectif.
C'est plus clair? Bon courage.

D'accord pour la disjonction et tu pourrais expliquer avec d'autres mots comment on arrive à la conclusion ?

[jlb]

D'accord pour la disjonction et tu pourrais expliquer avec d'autres mots comment on arrive à la conclusion ?

tu montres que f est une injection de UFn dans NxN donc UFn est dénombrable et comme UFn=UEn, une union d'ensembles dénombrables est dénombrables.

(injectivité de f: soient x,y dans UFn tels que f(x)=f(y) i.e il existe n0 et n1 entiers tels que (n0,fn0(x))=(n1,fn1(y)) donc n0=n1 et fn0(x)=fn0(y) avec fn0 injection donc x=y)

(et au départ tu as vu que si f:E-->F est une injection avec F dénombrable alors E est dénombrable)

voila

[Archytas]

tu montres que f est une injection de UFn dans NxN donc UFn est dénombrable et comme UFn=UEn, une union d'ensembles dénombrables est dénombrables.

(injectivité de f: soient x,y dans UFn tels que f(x)=f(y) i.e il existe n0 et n1 entiers tels que (n0,fn0(x))=(n1,fn1(x)) donc n0=n1 et fn0(x)=fn0(y) avec fn0 injection donc x=y

et au départ tu as vu que si f:E-->F est une injection avec F dénombrable alors E est dénombrable)

voila

Ok et pourquoi tous les fn(x) sont différents ?

[jlb]

Ok et pourquoi tous les fn(x) sont différents ?

tu parles à x fixé? c'est justement le problème, ce n'est pas forcément différent donc l'indice dans la définition de f est important