Loi des grands nombres et variables aleatoires correlees

[Pfistos]

Bonjour a tous,

Je me permet d envoyer ce petit messages car j ai une question a laquelle je n ai pas encore trouve un reponse qui me convaint>
On connait la loi des grand nombre faible et forte et a chaque fois qu on parle de variables aleatoires ils doivent etre iid ensuite on peut appliquer ce jolie theoreme.

Mon probleme est le suivant :
j ai (X1,...Xn) variable aleatoire de meme distribution mais ils sont correlees. soit rho_ij=corr(Xi,Xj)
on suppose que les rho_ij suivent une certaine distribution (peu importe).
On a Var(sum(Xi))=sum(Var(...))+2sum(cov(...))

J aurai voulu savoir si c est possible d appliquer la loi de grand nombre a Var(sum())-sum(Var(...)) et en deduire (qu en esperance) la variance de la somme de variable correlees converge vers la somm des variances??

Il y a le theoreme ergodique aui englobe la loi des grands nombre, cependant il faut que la distribution des correlations soit stationnaire, ce qui n est pas forcement le cas.

Cette question est assez importante car si je reussi a avoir une preuve concrete on pourra demontrer que si on a un portefeuille de contreparties qui sont correlees et que le portefeuille est assez granulaire alors on pourra assumer qu asymptotiquement on peut negliger l effet de la correlation.

Voili voilou, j espere qu ma question est claire et je vous remercie d avance pour vos reponses :)

PS: Je m excuse pour les accents je suis sur un clavier Querty, je deteste ahhhhhh

[LeJeu]

flood !

Merci au modos d'envoyer Pfitos en vacances ....

[Pfistos]

flood !

Merci au modos d'envoyer Pfitos en vacances ....

hmmmmm, j aurai bien aime partir en vacances mais tu pourrai tres bien expliquer pourquoi aussi?
Le but c est pas de flooder mais si jamais j ai dit une betise n hesite pas de me corriger. il faut etre constructif et ma question etait serieuse...

[nodjim]

Hum, j'ai connu des floods plus efficaces...

[ffpower]

Si tu ne veux pqs d'hypothèse de stationarité, alors il y a besoin d'une hypothèse de décroissance rapide des corrélations: par exemple je crois qu'il y a effectivement une loi des grands nombres si il y a décroissance exponentielle des correlations, ie s'il existe C positif et q plus petit que 1 tel que pour tout i,k


L'hypothese peut eventuellement etre affaiblie, mais en tout cas y'a besoin d'un truc...Je veux dire, c'est sur que la loi des grands nombre n'est pas vraie si on a aucune hypothése^^

[Pfistos]

Si tu ne veux pqs d'hypothèse de stationarité, alors il y a besoin d'une hypothèse de décroissance rapide des corrélations: par exemple je crois qu'il y a effectivement une loi des grands nombres si il y a décroissance exponentielle des correlations, ie s'il existe C positif et q plus petit que 1 tel que pour tout i,k


Merci beaucoup pour ta reponse :

L'hypothese peut eventuellement etre affaiblie, mais en tout cas y'a besoin d'un truc...Je veux dire, c'est sur que la loi des grands nombre n'est pas vraie si on a aucune hypothése^^

Oui en effet je suis d accord avec toi, justement je chercais ces hypotheses, et je n arrivais pas a trouver un bon truc sur internet.
Donc en gros si je comprend bien ce que tu dis, si cette hypotheses est verifiee, alors je pourrai appliquer la loi de grands nombre a Var(somme())-somme(Var())? ( d ailleurs tu n as pas un enonce qui enonce ce cas precis dont tu viens de parler? )

PS: J aurai voulu savoi ce que vous avez avec les flood, toute personne qui pose un question sur ce forum flood ou quoi??

[ffpower]

Pour le flood c'était plus une blague je crois

Sinon, en relisant plus attentivement ya des trucs bizarres dans ce que tu dis par exemple quand tu parles de correllation rho_ij=corr(Xi,Xj) je comprend moi rho_ij=E[X_i X_j], et donc c'est bizarre que tu parles après de la distribution de rho_ij (ce sont des nombres, pas des variables aléatoires)

Dans le même genre la phrase

J aurai voulu savoir si c est possible d appliquer la loi de grand nombre a Var(sum())-sum(Var(...)) et en deduire (qu en esperance) la variance de la somme de variable correlees converge vers la somm des variances??

est bizarre aussi puisque tu parles d'espérance pour des quantités deterministes. Et le fait que sum(Var)=Var(sum) est faux sauf coup de chance.

Du coup je suis pas sûr de ce que tu veux exactement. Moi je parlais juste d'un critere pour avoir une oi des grands nombres classiques, ie la convergence presque sure de

[Pfistos]

Pour le flood c'était plus une blague je crois

Sinon, en relisant plus attentivement ya des trucs bizarres dans ce que tu dis par exemple quand tu parles de correllation rho_ij=corr(Xi,Xj) je comprend moi rho_ij=E[X_i X_j], et donc c'est bizarre que tu parles après de la distribution de rho_ij (ce sont des nombres, pas des variables aléatoires)

Dans le même genre la phrase

est bizarre aussi puisque tu parles d'espérance pour des quantités deterministes. Et le fait que sum(Var)=Var(sum) est faux sauf coup de chance.

Du coup je suis pas sûr de ce que tu veux exactement. Moi je parlais juste d'un critere pour avoir une oi des grands nombres classiques, ie la convergence presque sure de

Probablement je n ai pas ete claire

On prend n variable aleatoire X1...Xn, ils ont tous la meme distribution. quand je dis rho_ij=corr(Xi,Xj) cela veux dire que rho_ij=(cov(Xi,Xj)/std(Xi)std(Xj)), donc en effet rho c est un nombre.
mnt imajine pour tout couple (i,j) rho_ij varie et que je peux considerer RHO une variable aleatoire tel que si je la discretise j aurai RHO au point ij = rho_ij

Tu vois mnt?

[ffpower]

Tu consideres rho_ij comme une variable aléatoire en tant que fonction sur N²..ok pourquoi pas.

Par contre ta question en elle même reste pas claire elle. Que voudrais tu montrer?

[Pfistos]

Tu consideres rho_ij comme une variable aléatoire en tant que fonction sur N²..ok pourquoi pas.

Par contre ta question en elle même reste pas claire elle. Que voudrais tu montrer?

justement je cherche a trouver des preuves si l affirmations suivante est vrai:

si jenote rho_ij la correlation entre pair et rho_ij >0
j ai :

sum(var(Xi))-2sum(roh_ij*std(Xi)std(xj))<=sum(var(Xi))<=sum(var(Xi))+2sum(roh_ij*std(Xi)std(xj))
L affirmation etait qu en considerant rho_ij une variable aleatoire et pour un nombre n assez grand alors on pourra supposer qu asymptotiquement var(sum())-sum(var()) converge vers 0. J ai pose la question pour savoir pourquoi, on me repond c estla loi de grand nombre sans plus. Je vois que dans ce cas le theoreme ergodique ne s applique pas, la loi faible et forte des grands nombres ne s appliquent pas, du coup je voulais savoir s il y avait en effet un certain nombre d hypotheses qui me permettait d affirmer cela.

J espere que j ai ete claire sur ce coup

[Pfistos]

Sinon pour simplifier ma question:

existe t il une forme de loi de grand nombre pour des variables aleatoires correlees qui sont identiquement distribuees ?

[ffpower]

Oui donc je précise ce que j'ai dit plus haut: ton var(sum())-sum(var()), il converge vers

(si cette somme existe. Et ya aucune raison que cette somme soit nulle (sauf si tous les Cov(X_i,X_j) sont nuls...ou si on a un gros coup de chance)

[ffpower]

Sinon pour simplifier ma question:

existe t il une forme de loi de grand nombre pour des variables aleatoires correlees qui sont identiquement distribuees ?

Pour cette question oui il y a des trucs.
Le probleme c'est que je ne vois aucun rapport entre tes 2 questions. En quoi cette question est une "simplification" de la précédente?

Je pense que j'ai toujours pas réellement compris ce que tu voulais en fait^^

[Pfistos]

Pour cette question oui il y a des trucs.
Le probleme c'est que je ne vois aucun rapport entre tes 2 questions. En quoi cette question est une "simplification" de la précédente?

Je pense que j'ai toujours pas réellement compris ce que tu voulais en fait^^

C est moi qui c est mal exprime je pense. tu as raison sur le fait qu il n y aucune chance que cette somme va vers 0, sauf si on estime qu en moyenne il y a autant de correl positif et negatif egales dans ce cas on pourra affirmer pour un nombre n large cette somme peut etre egale a 0.

pour la derniere question je dirai que c est la vrai question, en essayant de trouver une repone a la derniere question quej ai connence a reflechir en terme de correlation mais s il y a des trucs qui repondent a cette question plus besoin de se prendre la tete avec ce que je viens de dire.

ca serait excellent si tu peux me filer les reference ou les theoreme qui existent dans le cadre de v.a correle identiquement distribue.

Merci encore pour ton temps

[Pfistos]

Pour cette question oui il y a des trucs.
Le probleme c'est que je ne vois aucun rapport entre tes 2 questions. En quoi cette question est une "simplification" de la précédente?

Je pense que j'ai toujours pas réellement compris ce que tu voulais en fait^^

Je viens de trouver cette article Article page 7, je pense que ca repond a cette question, mais il faut un certain nombre de conditions pour pouvoir l appliquer comme tu as dit plus haut.

[Sourire_banane]

hmmmmm, j aurai bien aime partir en vacances mais tu pourrai tres bien expliquer pourquoi aussi?
Le but c est pas de flooder mais si jamais j ai dit une betise n hesite pas de me corriger. il faut etre constructif et ma question etait serieuse...

Yo,

Généralement, le flood n'est répréhensible que si l'on poste plusieurs fois un même message sur un seul et même forum. A moins que tu aies posté sur un autre forum (c'est légitime mais les gens n'aiment pas trop), je ne vois en effet pas quoi dire à ton encontre !
Auquel cas il faut demander à Le jeu et à Nodjim ce qu'ils pensaient.

[Pfistos]

Yo,

Généralement, le flood n'est répréhensible que si l'on poste plusieurs fois un même message sur un seul et même forum. A moins que tu aies posté sur un autre forum (c'est légitime mais les gens n'aiment pas trop), je ne vois en effet pas quoi dire à ton encontre !
Auquel cas il faut demander à Le jeu et à Nodjim ce qu'ils pensaient.

alors si c est la definition du flood, ils se sont trompes, puisque c est la premiere fois que je m inscrit sur ce site et c est la premiere fois que je poste un message ici et ce message je ne l ai poste nul part sur le net.

[ffpower]

Il a pas l'air de prouver grand chose d'intéressant ton article de loin^^
(il se place dans un cadre soit indépendant soit stationaire apparamment)

J'ai pas trouvé de réf de mon coté, je suis un peu étonné mais bon.

Disons sans aucune ref: Tu as une suite de variables aléatoires de variance bornée. Tu les centres: . Tu suppose avoir des bonnes décroissances sur les corrélations . Tu peux alors faire le calcul



Si tu as une majoration correcte de , ça permet de voir que le terme de droite tend vers 0 et d'obtenir une loi des grands nombres..sauf que la convergence est ici et pas presque sure, mais t'as donc quand même une loi faible des grands nombres..et en bidouillant un peu plus, si je me suis pas gourré ya moyen de récupérer la convergence presque sûre si tu y tiens

[Pfistos]

Il a pas l'air de prouver grand chose d'intéressant ton article de loin^^
(il se place dans un cadre soit indépendant soit stationaire apparamment)

J'ai pas trouvé de réf de mon coté, je suis un peu étonné mais bon.

Disons sans aucune ref: Tu as une suite de variables aléatoires de variance bornée. Tu les centres: . Tu suppose avoir des bonnes décroissances sur les corrélations . Tu peux alors faire le calcul



Si tu as une majoration correcte de , ça permet de voir que le terme de droite tend vers 0 et d'obtenir une loi des grands nombres..sauf que la convergence est ici et pas presque sure, mais t'as donc quand même une loi faible des grands nombres..et en bidouillant un peu plus, si je me suis pas gourré ya moyen de récupérer la convergence presque sûre si tu y tiens

Nice, Merci beaucoup
Dans l article y avais un exemple aui utilisais le cas de la decroissance des cov que tu as cite, c est pour ca je disais ca repondais a la question.

Dans ce que tu as fais , tu as prouve que meme si les Xk sont correle alors l a moyenne emprique des Yk converge vers 0 (au sens L2) et donc que la moyenne empirique des Xk converge au sens L2 vers l esperance de X. ca rentre dans le cadre de l exemple 3 de la page 7 de l article.

Merci dude pour tes reponses

[ffpower]

De rien. Je compte sur toi pour en faire bon usage et nous sortir de la crise :zen:
(et oui j'ai peut être pas regardé assez en détail ton article^^)