Supplémentaire

[zaidoun]

Bonjour,

Je veux savoir quelle est la définition de deux espaces vectoriels supplémentaires F et G?
(on connait la définition avec des sous espaces vectoriels)

[XENSECP]

La définition ou comment le montrer (propriété) ?

[Nightmare]

Bonjour,

Je veux savoir quelle est la définition de deux espaces vectoriels supplémentaires F et G?
(on connait la définition avec des sous espaces vectoriels)

On parle d'espaces supplémentaires DANS un espace ambiant (si on change cet espace, la notion change aussi). De fait on ne parlera de supplémentarité que chez les sous-espaces vectoriel d'un espace ambiant donné.

[zaidoun]

@XENSECP: oui je voudrais savoir quelle est la définition de deux espaces vectoriels supplémentaires?

Les espaces vectoriels F et G sont quelconques .

@Nightmare: J'ai trouvé cette question dans une série d'exercices.

[capitaine nuggets]

Salut !

Soient un espace vectoriel et , deux sous-espaces vectoriels de .

et sont supplémentaires dans , et on note , si quel que soit , il existe un unique couple tel que .

[alm]

Salut!

Nightmare a touit expliqué dans son intervention.
J'ajoute :
La notion de somme directe d'une famille d'espaces vectoriels peut avoir un sens, en les considérant comme des groupes commutatifs. puis considérer leur somme directe en tant que groupes commutatifs.
Pour plus de détails sur le sujet cliquer ici .

Par exemple pour deux ev et soit et soit et ( désigne le zero de pour )
Il est facile de prouver que
Comme pour , et sont isomorphes, on peut identifier et et obtenir donc

Si on veut plus de rugueur là dessus il faut utiliser la notion de prpriété universelle ...

[zaidoun]

Bonjour,

Merci bien Mohamed, mais juste j'ai pas bien compris votre dernière phrase "Si on veut plus de rugueur là dessus il faut utiliser la notion de prpriété universelle."

[alm]

Salut!

Bonjour,

Merci bien Mohamed, mais juste j'ai pas bien compris votre dernière phrase "Si on veut plus de rugueur là dessus il faut utiliser la notion de prpriété universelle."

Pour définir la somme directe externe de et on a suggégré
Ce n'est pas la seule suggestion possible.
On essaye donc de detecter une propriété universelle tel que si une autre suggestion la vérifie alors est isomorrphe à


Voici donc un énoncé qui résume cela :
(Avant mettons nous d'accord sur le fait que est un corps commutatif donné et quan on dit espace vectoriel c'est espace vectoriel )

Soit deux espaces vectoriels.
Alors : Il existe à isomorphisme près un et un seul espace vectoriel et des applications linéires injectives et (qui seront appelées les injections canoniques) tel que :

Pour tout espace vectoriel et toutes applications linéaires pour , il existe une unique application linéaire tel que .

On a l'habitude de dire que l diagramme suivant :



est commutatif
(langage utilisé par les algébristes qui font aussi les catégories)


PS: N'hésite pas de le dire si tu as besoin de plus d'explications.

[zaidoun]

ok merci beaucoup Mohamed

[alm]

ok merci beaucoup Mohamed

Je t'en prie.
Il te reste en fait à démontrer cette proposition.
Si tu veux généraliser pour une famille d'espaces vectoriels c'est possible.