Propriété de la borne supérieure R

[Finrod]

Bonjour,

Je pense que si on admet la construction de R et ses propriétés élémentaires, la construction de la borne supérieure d'une partie majorée est assez simple. Mais je voulais un avis extérieur.

Tout d'abord pour un intervalle majoré (ouvert, fermé ou semi ouvert) |a,b|, il est clair que b est la borne supérieure de |a,b|.

Par suite si A est un sous ensemble de R, on considère son enveloppe convexe . Alors I est un intervalle car il est connexe et M est un majorant de I si et seulement si c'est un majorant de A.

Il en résulte que I s'écrit |a,b| et que b est la borne supérieure de A, d'où l'existence.

Je vous laisse me dire ce que vous en pensez.

[L.A.]

Bonjour.

Je ne suis pas vraiment passionné par les questions d'axiomes, genre qui est là avant qui, mais il me semble qu'il faut connaitre l'existence de bornes supérieures et inférieures pour pouvoir montrer qu'un connexe est de la forme |a,b| (ton "Il en résulte que...")

Pour éviter de brasser du vent, il faut que tu nous dises ce que tu entends par "intervalle" et ce que tu supposes exactement. Pour moi un intervalle c'est une partie de R qui, dès qu'elle contient deux points x
Donc ta démo tourne simplement en rond, précise-la si tu n'est pas d'accord avec moi.

[Finrod]

En effet.

Ma démo implique donc simplement que si la propriété de la borne supérieure est vraie pour les parties connexes, alors elle est vrai pour tout sous-ensemble, ce qui est peu utile.

Je regarde si je vois comment prouver qu'une partie connexe majorée de R vérifie la propriété de la borne supérieure.

Ou bien si je vois comment prouver que les parties connexes de R sont les intervalles.

[Finrod]

Finalement, on ne peut que construire une suite de majorants décroissants...

On peut revenir à une démonstration classique qui dit que la propriété est équivalente à R Archimédien et complet mais ce n'était pas l'idée que je cherchais.

Je voulais une équivalence entre la propriété de la borne sup et une propriété naturelle de R, plus intuitive.

mais effectivement...

[Finrod]

Il est possible aussi à l'aide d'un suite de construire directement le développement décimal de la limite souhaitée.


est le le maximum du sous-ensemble majoré de

est le maximum du sous-ensemble majoré de

Il faudrait vérifier que est de la forme mais ça doit découler de la propriété de la partie entière.


On admet simplement pour conclure qu'il est possible de construire une application de R dans qui associe à un réel un développement décimal (elle est alors surjective).
(Ce qui dans la construction de R arrive après la complétude ou la prop de la borne supérieure... il est bien évident que l'on se mord toujours la queue mais l'idée est de mettre en évidence l'aspect intuitif de a propriété de la borne supérieure, pas de reconstruire R,sinon je l'aurais fait.)

[Maxmau]

Bj
Dans R, une propriété très intuitive est que 2 suites adjacentes convergent. A partir de là, on peut montrer l'existence de la borne supérieure pour un ensemble majoré.

[Finrod]

Bj
Dans R, une propriété très intuitive est que 2 suites adjacentes convergent. A partir de là, on peut montrer l'existence de la borne supérieure pour un ensemble majoré.

Merci mais je démontre la prop sur les suites adjacentes en utilisant la prop de la borne sup car je ne veux pas utiliser que R est complet...


Donc finalement je me contente du fait que la prop de la borne sup est équivalente à l'existence de dev décimal, la construction d'un réel pour un dev décimal donné se faisant pas passage à la limite d'une suite croissante ou bien à l'aide d'un suite de cauchy ou même de suites adjacentes.