Bonjour,
Je pense que si on admet la construction de R et ses propriétés élémentaires, la construction de la borne supérieure d'une partie majorée est assez simple. Mais je voulais un avis extérieur.
Tout d'abord pour un intervalle majoré (ouvert, fermé ou semi ouvert) |a,b|, il est clair que b est la borne supérieure de |a,b|.
Par suite si A est un sous ensemble de R, on considère son enveloppe convexe . Alors I est un intervalle car il est connexe et M est un majorant de I si et seulement si c'est un majorant de A.
Il en résulte que I s'écrit |a,b| et que b est la borne supérieure de A, d'où l'existence.
Je vous laisse me dire ce que vous en pensez.