Série de Fourier

[Cactuss]

Salut à tous et bon WE,

Je suis sur un exercice concernant les séries de Fourier, le voici:



Pour la question 1, j'ai trouvé que la fonction était paire, donc le coefficient bn=0.

Attaquons maintenant la question 2 et le calcul de la série. J'ai tout d'abord calculé a0 avec:


1er problème, je trouve a0=0 (ce qui n'est pas très cohérent pour une fonction paire).

J'ai ensuite calculé an :

Pour lequel je trouve


Le résultat final de ma série est donc:


Ce qui ce rapproche de du résultat de la question 3. Cela vous semble t'il correct?
Par contre je ne sais comment étudier la convergence ni répondre à la question 3.
J'ai pensé à utilisé Dirichlet avec n=\pi.

Voili voilou,
Merci pour votre aide.

[Pythales]

Salut à tous et bon WE,

Je suis sur un exercice concernant les séries de Fourier, le voici:



Pour la question 1, j'ai trouvé que la fonction était paire, donc le coefficient bn=0.

Attaquons maintenant la question 2 et le calcul de la série. J'ai tout d'abord calculé a0 avec:


1er problème, je trouve a0=0 (ce qui n'est pas très cohérent pour une fonction paire).

J'ai ensuite calculé an :

Pour lequel je trouve


Le résultat final de ma série est donc:


Ce qui ce rapproche de du résultat de la question 3. Cela vous semble t'il correct?
Par contre je ne sais comment étudier la convergence ni répondre à la question 3.
J'ai pensé à utilisé Dirichlet avec n=\pi.

Voili voilou,
Merci pour votre aide.

Quelle est la période de ta série ?
Quelle est l'expression de ?
Le calcul de est faux de toutes façons.

[Cactuss]

Pour a0 il manque 1/pi devant l'intégrale. Le calcul donne a0=0 et an correspond à ce qu'il faut retrouver à la question 3.

J'ai maintenant un soucis pour justifier la convergence avec Dirichlet et ainsi déduire la valeur de la question 3.

http://www.noelshack.com/2013-29-1374323505-telechargement-1.jpg

[deltab]

Pour a0 il manque 1/pi devant l'intégrale. Le calcul donne a0=0 et an correspond à ce qu'il faut retrouver à la question 3.

J'ai maintenant un soucis pour justifier la convergence avec Dirichlet et ainsi déduire la valeur de la question 3.

http://www.noelshack.com/2013-29-1374323505-telechargement-1.jpg

As-tu besoin de Dirichlet pour justifier la convergence de la série? vers f(t) peut être. La fonction f n'est-elle pas continue en 0? Pour une fonction g continue en x_0, on a :

[Cactuss]

As-tu besoin de Dirichlet pour justifier la convergence de la série? vers f(t) peut être. La fonction f n'est-elle pas continue en 0? Pour une fonction g continue en x_0, on a :

En effet j'ai utilisé dirichlet en disant que ma fonction était continue
j'ai ensuite calculé s(f)(pi)=~g(pi)=1/2 * (-pi^2 /6 -pi^2 / 6)

Pour ensuite conclure que S(f) convergeait vers ~g.

desolé pour les fautes, je poste depuis mon telephone.

[deltab]

Bonsoir.

En effet j'ai utilisé dirichlet en disant que ma fonction était continue
j'ai ensuite calculé s(f)(pi)=~g(pi)=1/2 * (-pi^2 /6 -pi^2 / 6)

Pour ensuite conclure que S(f) convergeait vers ~g.

desolé pour les fautes, je poste depuis mon telephone.

La fonction f est continue en 0 donc f(0)=S(0) car pour une fonction g continue en x_0, on a:

Peux-tu m'expliquer pourquoi?
Sur , on a donc S(x)=f(x).
Comme je ne sais si f est continue ou pas en (je ne l'ai pas étudiée, on a donc en \pi: S(\pi}=\defrc{f(\pi^+)+f(\pi^-){2}

Remarque:
Que représente la fonction ~g ? la régularisée de f?

[Cactuss]

g(xo^+) et g(xo^-) correspondent aux limites à droites et à gauche de g(x0).
g(x0) est la régularisée de f et S(f) tend vers cette régularisée si ma fonction f est de classe C1 par morceaux.
Par contre je ne saurais expliquer pourquoi.

Exactement, ~g est la régularisée de f.

[deltab]

Bonjour.

g(xo^+) et g(xo^-) correspondent aux limites à droites et à gauche de g(x0).
g(x0) est la régularisée de f et S(f) tend vers cette régularisée si ma fonction f est de classe C1 par morceaux.
Par contre je ne saurais expliquer pourquoi.

Exactement, ~g est la régularisée de f.

C'est une conséquence du théorème de Dirichet et tu l'as utilisé d"ailleurs .

Dans une de ma précédente réponse, des fautes de frappe et omission de balisesLatex a rendu un passage incompréhensible si tu ne connais pas le Latex:

Comme je ne sais si f est continue ou pas en \pi (je ne l'ai pas étudiée, on a donc en

Le dernière égalité je viens de l'ajouter maintenant. Comme la fonction est notée f, sa régularisée est alors notée par
J'ai introduit une fonction g, c'était pour avoir des relations indépendantes de l'exercice, par exemple si est continue en , alors:

.

La notion de régularisée d'une fonction f peut être définie en dehors des séries de Fourier, mais c'est à ce niveau qu'on l'utilise.

[Cactuss]

Merci pour l'explication, je n'avais pas approfondi ma réflexion jusqu'à là.

Par contre, peux-tu me répondre à ce sujet la: http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=949154#post949154 ?

Je pêche sur l'une de tes réponses.

Merci :happy2:

[deltab]

Bonjour

@cactuss

C'est fait.