Equation du second degré (nombres complexes)

par **christ74** » 18 Juil 2013, 13:32

Bonjour, Je suis en 1ère S et on me demande de résoudre l'équation suivantes dans l'ensemble C des complexes

z² - (4-1)z +5-5i = 0

J'ai Calculé delta mais j'ai retrouvé -5-28i, j'ai ensuite trouvé les racines de (-delta) donc de 5+28i... bon bref au total j'ai eu 4 racines que j'ai du remplacer dans z' et z" et j'ai eu 8 racines pour cette equation mais apres verification, quelques racines n'étaient pas solutions...
j'ai alors posé z= x+iy mais j'ai abouti à un systeme tres compliqué et la seule facon de le resoudre c'est par subsitution :marteau:

Que dois-je alors faire?
Merci d'avance de votre aide !

par **spike0789** » 18 Juil 2013, 15:14

Salut,

On a bien

?

Donc

Maintenant il suffit de trouver UNE racine de

qu'on appelle

(telle que

). Et finalement, les DEUX SEULES solutions de l'équation sont données par la formule :

et

par **annick** » 18 Juil 2013, 16:13

J'aurais tendance à dire que l'énoncé n'est pas z² - (4-1)z +5-5i = 0, mais :

z² - (4-i)z +5-5i = 0

Mais bon, ce n'est qu'une supposition.

par **Black Jack** » 18 Juil 2013, 18:43

S'il s'agit de : z² - (4-i)z + 5-5i = 0

Delta = (4-i)² - 4(5 - 5i)
Delta = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i
Delta = -5 + 12i

(a+ib)² = -5 + 12i
|(a+ib)²| = |-5 + 12i|
a²+b² = V(5² + 12²) = 13 (1)

(a+ib)² = -5 + 12i
a²-b²+2iab = -5 + 12i

a²-b² = -5 (2)
ab = 6

(1) et (2) --->
2a² = 13-5
a² = 4
a = +/- 2
b = 6/(+/-2) = +/-3

z = [(4-i) +/- (2 + 3i)]/2

z1 = [(4-i) - (2 + 3i)]/2 = 1 - 2i
z2 = [(4-i) + (2 + 3i)]/2 = 3 + i

:zen:

par **Euler07** » 18 Juil 2013, 18:44

Black Jack quand vas tu te réconcilier avec le latex ?

:livre:

par **Black Jack** » 18 Juil 2013, 19:44

Euler07 a écrit:Black Jack quand vas tu te réconcilier avec le latex ?

:livre:

Jamais,

L'habit ne fait pas le moine.

:zen:

par **Kikoo <3 Bieber** » 18 Juil 2013, 20:09

Je suis d'accord, Black Jack a l'art de se faire comprendre sans LateX.
Sinon c'est drôle mais j'avais instinctivement lu 4-i au lieu de 4-1

par **christ74** » 19 Juil 2013, 08:51

C'est en fait 4-i , faute de tape de ma part, pour laquelle je m'excuse.

Petite Question:

Black Jack a écrit:a = +/- 2
b = 6/(+/-2) = +/-3

Cela ne signifie-t-il qu'on a 4 racines? 2+3i ou 2-3i ou -2+3i ou -2-3i ? Pourquoi une seule d'elles serait-elle valide? (pourquoi 2+3i ? )

Merci beaucoup pour vos réponses !

par **spike0789** » 19 Juil 2013, 11:06

Comme ab=6, a et b sont de même signe (par exemple). Donc on a deux choix : 2+3i ou -2-3i qui correspondent aux deux racines trouvées

Equation du second degré (nombres complexes)

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