Démonstration

[t.itou29]

Bonjour,
Je viens de finir un exercice sur la démonstration de l'inégalité de Hölder et Minkovski que j'ai trouvé sympa à faire. Connaissez-vous d'autres inégalités dont la démonstration (guidée) est accessible avec des outils de première s (j'ai déjà fait Cauchy-Schwarz) ? Ou des exercices d'applications des ces inégalités ?
Merci

[naru2]

Bonjour,
Je viens de finir un exercice sur la démonstration de l'inégalité de Hölder et Minkovski que j'ai trouvé sympa à faire. Connaissez-vous d'autres inégalités dont la démonstration (guidée) est accessible avec des outils de première s (j'ai déjà fait Cauchy-Schwarz) ? Ou des exercices d'applications des ces inégalités ?
Merci

bonjour,
dans l'emploie des inégalité, il y a peut être les olympiade.

[t.itou29]

bonjour,
dans l'emploie des inégalité, il y a peut être les olympiade.

Merci, je viens de regarder: dans les olympiades académiques il y en a pas beaucoup et dans les internationales elles sont pour la plupart trop compliquées pour moi.

[naru2]

Merci, je viens de regarder: dans les olympiades académiques il y en a pas beaucoup et dans les internationales elles sont pour la plupart trop compliquées pour moi.

sinon, je peut te proposer cela, je les est trouvées sur un post dOlympus:

1) Montrer que pour tous réels : .

2) Montrer que pour tous réels strictement positifs : .

3) Montrer que pour tous réels : .

4) Montrer que pour tous réels strictement positifs tels que : .

5) Montrer que pour tous réels positifs tels que :

6) Soient les longueurs des côtés d'un triangle telles que . Montrer que .

7) Soient les longueurs des côtés d'un triangle. Montrer que .

8) Soient les longueurs des côtés d'un triangle non aplati. Montrer que .

[Aredhell]

Connaissez-vous d'autres inégalités dont la démonstration (guidée) est accessible avec des outils de première s (j'ai déjà fait Cauchy-Schwarz) ? Ou des exercices d'applications des ces inégalités ?
Merci

On peut s'entraîner à résoudre certaines inégalités classiques pour les olympiades avec des méthodes utiles dont la plupart seront enseignées en dehors du programme de base des lycées : Chebyshev, Jensen, Newton, Mac Laurin, Cauchy-Schwarz, Schur, inégalité triangulaire, Minkowski, en résumé...

Application: soient trois réels positifs tels que . Montrer alors l'inégalité suivante :

[Luc]

Bonjour,

il y a aussi bien sûr l'inégalité arithmético géométrique, et ses nombreuses preuves. On peut la voir comme un cas particulier d'une inégalité de convexité.

Je plussoie le lien qu'Aredhell a donné, c'est une très bonne référence : elle est utilisée pour les stages Animaths de préparation aux olympiades :)

[t.itou29]

Merci pour vos réponses, le lien qu'a donné Aredhell a l'air intéressant. Reste plus qu'à réfléchir !
Au fait l'exercice d'application utilise bien Hölder ou Minkovski, ce sont les seules que j'ai vues pour l'instant (avec AM-GM et Cauchy-Shwarz) ?

[t.itou29]

Pour la première inégalité de naru2, elle est équivalente à , or on a par AM-GM et il est en de même pour le deuxième terme.
Pour la deuxième on a , et en faisant la même chose sur les autres termes et en additionnant on obtient l'inégalité. Par contre pour l'inégalité de Aredhell je n'ai pas la moindre idée je vais continuer à chercher.

[Luc]

Par contre pour l'inégalité de Aredhell je n'ai pas la moindre idée je vais continuer à chercher.

A mon avis, elle suppose connu le contenu de son lien, donc n'hésite pas à le lire avant. Il y a aussi les autres inégalités de naru2 pour patienter!

[oussazizi]

en fait t.itou29, vous avez un peu compliqué les choses, pour la première inégalité:
on a : (a-1)² ;)0 implique : 1/2;)a/(a²+1) de même pour b
donc : 1 ;)a/(a²+1)+b/(b²+1)
on multiplie par (1+a²)(1+b²) (supérieur à 0) et on obtient le résultat demandé :zen: