Svp c urgent

[melhor92]

Salut je suis nouveau sur ce forum , svpje voudrais que qlq'un me résolve ce système , je serai reconnaissant :)

kx+y+z+t=1
x+ky+z+t=1
x+y+kz+t=1
x+y+z+kt=1 Résoudre ce système dans R merci d'avance ;)

[chan79]

Salut je suis nouveau sur ce forum , svpje voudrais que qlq'un me résolve ce système , je serai reconnaissant

kx+y+z+t=1
x+ky+z+t=1
x+y+kz+t=1
x+y+z+kt=1 Résoudre ce système dans R merci d'avance

Ajoute les 4 égalités membre à membre
et tu auras facilement le résultat
attention si k=-3 et si k=1

[nodjim]

Tu devrais trouver x=y=z=t=1/(k+3)
La réserve pour le cas k=1, on la voit bien, il n'y aurait qu'une seule équation à 4 inconnues.

[melhor92]

Ajoute les 4 égalités membre à membre
et tu auras facilement le résultat
attention si k=-3 et si k=1

Merci pour la réponse chan79 mais je voudrais avoir un peu plus de détail quel méthode pr résoudre ce systeme et une etude des cas si c possible

[melhor92]

Tu devrais trouver x=y=z=t=1/(k+3)
La réserve pour le cas k=1, on la voit bien, il n'y aurait qu'une seule équation à 4 inconnues.

Merci nodjim , pourrais tu un peu détaillési c possible , par quel methode as tu résolu le systeme pour trouver cette solution

[nodjim]

Merci nodjim , pourrais tu un peu détaillési c possible , par quel methode as tu résolu le systeme pour trouver cette solution

Fais l'addition des 4 équations et ça donne, si S=x+y+z+t
kS+3S=4
Il ne te reste plus qu'à chercher x, y ,z ,t, mais déja en trouvant x tu devrais comprendre pour les autres.

[melhor92]

Fais l'addition des 4 équations et ça donne, si S=x+y+z+t
kS+3S=4
Il ne te reste plus qu'à chercher x, y ,z ,t, mais déja en trouvant x tu devrais comprendre pour les autres.

Merci nodjim c réglé

[Robic]

Cette astuce de calcul ne doit pas faire perdre de vue que le but est de discuter de l'existence des solutions suivant les valeurs de k. Par exemple pour k=1 il se passe quelque chose de particulier.

(La méthode générale pour ce genre de problème est la méthode du pivot. Si tu la connais, je te la conseille.)

[nodjim]

Robic, tu n'as pas tout lu, il me semble...

[Robic]

Justement, en lisant toute la discussion je n'étais pas sûr qu'il était clair qu'il faut identifier puis examiner tous les cas.

[Black Jack]

En ajoutant les 4 équations membre à membre :
(k+3).(x+y+z+t) = 4

kx+y+z+t=1
(k-1)x + x+y+z+t=1
(k-1)x + 4/(k+3)=1

Si k diff de 1 et de -3 :
(k-1)x = 1 - 4/(k+3)
x(k-1) = (k-1)/(k+3)
x = 1/(k+3)

Et par des raisonnements analogues, on trouve :

Si k diff de 1 et de -3 : x = y = z = t = 1/(k+3)
*****
Il reste à étudier les cas k = 1 et k = 3

1°)
Si k = 1
les 4 équations sont identiques et se résument à :
x+y+z+t = 1 (1)

On prend n'importe quelles valeurs réelles pour 3 des variables et on déduit la valeur de la 4ème variable par (1)
Il y a donc une infinité de solutions.
*****
2°)
Si k = -3

(k+3).(x+y+z+t) = 4
C'est impossible, on ne peut pas avoir 0 = 4.
*****

:zen:

[Robic]

La méthode du pivot est plus laborieuse ici, puisque la forme particulière du système permettait l'astuce dont vous avez parlé, mais est plus générale, du coup j'en donne le détail à mon tour (je note entre parenthèse le pivot qui servira à écrire le système suivant) :

.k. 1 1 1 ... 1
(1) k 1 1 ... 1
.1. 1 k 1 ... 1
.1. 1 1 k ... 1

0 1-k² 1-k 1-k ... 1-k .. L1-k L2
1 . k ... 1 ... 1 ... 1
0 1-k . k-1 .. 0 ... 0 .. L3-L2
0 1-k . 0 .. k-1 ... 0 .. L4-L2

Le 2è pivot ne peut être choisi que parmi les coeffs égaux à 1-k ou contenant le facteur 1-k, donc on ne peut poursuivre que si k est différent de -1.
- Si k = 1 alors toutes les équations sont équivalentes à une seule et il y a une infinité de solutions (on aurait pu le dire dès le début, bien sûr).
- Si k n'est pas égal à 1, commençons par tout diviser par 1-k.

0 1+k 1 .1 ... 1
1 .. k .1 . 1 ... 1
0 .(1)-1. 0 ... 0
0 ..1 ..0 -1 ... 0

0 0 2+k .1 ... 1 ... L1-(1+k) L3
1 0 1+k .1 ... 1 ... L2 - k L3
0 1 ..-1 ..0 ... 0
0 0 . (1)-1 ... 0 ... L4 - L3

0 0 0 3+k ... 1... L1-(2+k) L4
1 0 0 2+k ... 1... L2-(1+k) L4
0 1 0 . -1 .... 0... L3+L4
0 0 1 . -1 .... 0

Le dernier pivot possible est le 4è coeff de la première ligne, 3 + k. Donc :
- Si k = -3 on se retrouve avec 0 = 1, le système n'a pas de solution.
- Si k est différent de -3 on peut choisir un 4è pivot, il y a donc une solution unique.

0 0 0 3+k ... 1
1 0 0 . 0 ... 1/(3+k) ... L2-(2+k)/(3+k) L1
0 1 0 . 0 ... 1/(3+k) ... L3 + L1/(3+k)
0 0 1 . 0 ... 1/(3+k) ... L4 + L1/(3+k)

On trouve ainsi que x = y = z = t = 1/(3+k).

Je pense que c'est utile de savoir le faire avec la méthode générale, même si dans ce cas particulier c'est un peu plus long.

[chan79]

salut
Bien-sûr, il faut connaître la méthode du pivot.
Mais avant de se lancer dans cette méthode, on doit regarder s'il n'y a pas une méthode plus ou moins évidente, comme ici, qui permette d'arriver plus rapidement au résultat. Ca peut être utile à un oral d'examen.

[Robic]

Tout à fait d'accord ! Le calcul détaillé du pivot n'était qu'une remarque annexe.

[deltab]

Fais l'addition des 4 équations et ça donne, si S=x+y+z+t
kS+3S=4
Il ne te reste plus qu'à chercher x, y ,z ,t, mais déjà en trouvant x tu devrais comprendre pour les autres.

Le fait que la solution si elle existe vérifie x=y=z=t provient du fait que le système est invarient par permutation des inconnues.