Équation plusieurs segments

[Thuglife6938]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si il est possible d'obtenir une équation f(x) de plusieurs segments consécutifs.
Dans mon repère j'ai 5 points :
(X1,y1)
(X2,y2)
(X3,y3)
(X4,y4)
(X5,y5)

Est il possible d'obtenir f(x) en fonctions de x et des coordonnes ci dessus ?

[Shew]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si il est possible d'obtenir une équation f(x) de plusieurs segments consécutifs.
Dans mon repère j'ai 5 points :
(X1,y1)
(X2,y2)
(X3,y3)
(X4,y4)
(X5,y5)

Est il possible d'obtenir f(x) en fonctions de x et des coordonnes ci dessus ?

Tout dépend si ces points sont ensembles d'une même fonction .

[mathafou]

Bonsoir,

Est il possible d'obtenir f(x) en fonctions de x et des coordonnes ci dessus ?

on peut toujours "bidouiller" avec la fonction (x + |x|)/2 ou des choses du genre, |x| = valeur absolue

ça donne :

f(x) = y0 + (x - x0)(y1 - y0)/(x1 - x0) +
(x - x1 + |x - x1|)((y2 - y1)/(x2 - x1) - (y1 - y0)/(x1 - x0))/2 +
(x - x2 + |x - x2|)((y3 - y2)/(x3 - x2) - (y2 - y1)/(x2 - x1))/2 +
...
et le tout multiplié par racine( (x-x0)(xn-x)/|(x-x0)(xn-x)| )
pour "bloquer" la fonction entre x0 et xn
(ou juste "définir" la fonction seulement entre x0 et xn)

[Thuglife6938]

Bonjour,

Donc dans mon cas comme le bornage (x0 et xn) correspond au premier x du premier segment et dernier x du dernier segment soit x1 et x5 ?

[chan79]

Bonjour
Il y aurait bien une méthode mais pas de niveau lycée à cause du nombre d'inconnues.
Sur un exemple:
A(2;2)
B(3;7)
C(0;-4)
D(-4;0)
E(6;10)
On pose f(x)=a|x-2|+b|x-3|+c|x|+d|x+4|+e|x-6|
on traduit en équations les égalités suivantes:
f(2)=2
f(3)=7
f(0)=-4
f(-4)=0
f(6)=10
on obtient:
0a+1b+2c+6d+4e=2
1a+0b+3c+7d+3e=7
2a+3b+0c+4d+6e=-4
6a+7b+4c+0d+10e=0
4a+3b+6c+10d+0e=10
ce qui donne:
a=1
b=-2
c=2
d=0
e=0
soit f(x)=|x-2|-2|x-3|+2|x|

[Buridan]

[HS]@Chan, on ne peut plus t'envoyer de mp, ta boîte est pleine ! :hum:

[mathafou]

Bonjour,

Il y aurait bien une méthode mais pas de niveau lycée à cause du nombre d'inconnues.
... soit f(x)=|x-2|-2|x-3|+2|x|

Ma technique donne la même chose sans aucune inconnue !
(comme je le disais elle vient directement de l'étude de la fonction (x + |x|)/2 qui vaut x pour x >0 et 0 pour x xi et 0 pour x < xi
et les termes (yi-yj)/(xi-xj) sont les pentes des segments correspondants

on obtient :
pente du premier segment : a1 = -1
pente du second segment : a2 = 3
pente du troisième segment : a3 = 5
pente du 4ème segment : a4 = 1
et mon équation s'écrit
f(x) = -(x+4) + (x+|x|)(3-(-1))/2 + (x-2+|x-2|)(5-3)/2 + (x-3+|x-3|)(1-5)/2
soit f(x) = -(x+4) + 2(x+|x|) + (x-2+|x-2|) - 2(x-3+|x-3|)
et en simplifiant les termes en x (qui s'anullent) et les termes constants (qui s'anullent aussi) :
f(x) = 2|x| + |x-2| - 2|x-3|
:zen:

[chan79]

Bonjour,
Ma technique donne la même chose sans aucune inconnue !
(comme je le disais elle vient directement de l'étude de la fonction (x + |x|)/2 qui vaut x pour x >0 et 0 pour x xi et 0 pour x < xi
et les termes (yi-yj)/(xi-xj) sont les pentes des segments correspondants

on obtient :
pente du premier segment : a1 = -1
pente du second segment : a2 = 3
pente du troisième segment : a3 = 5
pente du 4ème segment : a4 = 1
et mon équation s'écrit
f(x) = -(x+4) + (x+|x|)(3-(-1))/2 + (x-2+|x-2|)(5-3)/2 + (x-3+|x-3|)(1-5)/2
soit f(x) = -(x+4) + 2(x+|x|) + (x-2+|x-2|) - 2(x-3+|x-3|)
et en simplifiant les termes en x (qui s'anullent) et les termes constants (qui s'anullent aussi) :
f(x) = 2|x| + |x-2| - 2|x-3|
:zen:

oui, pas mal, je n'avais pas pris le temps de regarder ta méthode :zen:

[Thuglife6938]

Nickel!!!!! ta méthode Mathafou.

Je l'ai utilisée, il y a juste un hic si x égal à une borne cela fait 0 et non la vrai valeur mais bon j'ai pu me débrouiller avec cela.

Encore merci

[mathafou]

il y a juste un hic si x égal à une borne cela fait 0 et non la vrai valeur

???
ça donne la vraie valeur.
que ce soit "avec ma méthode" ou avec celle de chan le résultat est la même formule. c'est juste les calculs intermédiaires qui sont différents (la façon d'obtenir cette formule)

dans l'exemple numérique donné
f(x) = 2|x| + |x-2| - 2|x-3|
en x = -4 la vraie valeur est 0 c'est le point D(-4;0) du graphe
et on a bien 2*4 + 6 - 2*7 = 0
en x = 0 (point C(0; -4)) on a bien 2 - 6 = -4 OK
etc ...
en x = 6 (point E(6;10)) on a bien 2*6 + 4 - 2*3 = 10 OK

alors où donc trouves tu une borne où on n'obtient pas la vraie valeur ???
tu as dû faire des erreurs de calcul quelque part avec tes propres données...

[Thuglife6938]

Dans ton équation :

f(x) = y0 + (x - x0)(y1 - y0)/(x1 - x0) +
(x - x1 + |x - x1|)((y2 - y1)/(x2 - x1) - (y1 - y0)/(x1 - x0))/2 +
(x - x2 + |x - x2|)((y3 - y2)/(x3 - x2) - (y2 - y1)/(x2 - x1))/2 +
...
et le tout multiplié par racine( (x-x0)(xn-x)/|(x-x0)(xn-x)| )

si je remplace x par une des bornes x0 ou xn, en fin d'équation je vais avoir si je cherche f(x0):
racine( (x0-x0)(xn-x0)/|(x0-x0)(xn-x0)| )
d'ou racine (0)
d'ou f(x0)=0 ce qui est faux.

Je dit des bétises ?

[mathafou]

Dans ton équation :
...
et le tout multiplié par racine( (x-x0)(xn-x)/|(x-x0)(xn-x)| )

si je remplace x par une des bornes x0 ou xn, en fin d'équation je vais avoir si je cherche f(x0):
racine( (x0-x0)(xn-x0)/|(x0-x0)(xn-x0)| )
d'ou racine (0)
d'ou f(x0)=0 ce qui est faux.

Je dit des bétises ?

oui et non
Tu divises par 0 !!! donc ça ne donne pas 0 !!
au pire tu simplifies, ce qui donne racine( (xn-x0)/|(xn-x0)| ) = 1, donc tu multiplies tout par 1 et tu obtiens bien le bon f(x0)

Mais en fait cette "multiplication par racine de trucmuche" est un gadget pour qu'il n'y ait rien du tout en dehors des segments, rien du tout avant x0 et rien du tout après le dernier, xn. (rend la fonction indéfinie)
La fonction elle même c'est juste le "tout ça" sans le "multiplié par racine de trucmuche"

Ici en fait le domaine de définition est :
- sans le racine de trucmuche ]-oo; +oo[, le premier segment et le dernier étant prolongés des deux côtés à l'infini (comme dans le graphe de chan79)
- avec mon racine de trucmuche : ]x0; xn[ bornes exclues à cause de la division par 0 : en x0 et en xn ça ne fait pas 0 ça fait "indéfini", division par 0 (certes de 0, mais c'est indéfini quand même)
pour avoir [x0; xn] comme domaine de définition il faudrait remplacer mon racine de trucmuche par un truc plus subtil qui n'en vaut pas la peine.

Encore une fois le racine de trucmuche est un "gadget" inutile et donc à supprimer, f(x) étant exclusivement le premier morceau
dans l'exemple : f(x) = 2|x| + |x-2| - 2|x-3| et rien d'autre
Et à remplacer par explicitement : "restreindre x à [x0; xn]"
cette phrase définissant le domaine de définition, au lieu que ce domaine soit défini par une formule (qui ne marche d'ailleurs pas bien aux bornes comme tu l'as effectivement souligné)