Logique et trigonométrie 1ère S

[dchg41]

Bonjour,
Voilà l 'énoncé du problème N°826 du Monde du 19/6 :
On construit à partir d'un triangle ABC isocèle en A, les symétriques A' de A par rapport à BC,B' de B par rapport à AC et C' de C par rapport à AB.
Pour quelle(s) valeurs de l'angle BAC le triangle A'B'C' est-il equilateral ?
La solution parue le 26/6 est partiellement incompréhensible .
En effet il suffit de chercher les valeurs de BAC qui rendent B'C' = A'C'
Soit avec BAC = x : 4 sin^2x +1 =4 sin ^2(3x/2)
Or cos 2x = 1-2 sin^2x et
Cos 3x = 1-2 sin^2(3x/2)
Et ils concluent ......
""D'où :
Cos 2x -cos 3x =1/2 ?????????
Qui peut justifier ce résultat ?
(Qui est exact ,car vérifié à posteriori)

Car sans cette égalité ,on ne sait pas résoudre l équation du 3ème degré qui donne les 3 valeurs de l 'angle BAC.
Merci d'avance,

[ampholyte]

Bonjour,

Il suffit d'utiliser le fait que cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

2sin²(x) = 1 - cos(2x)
4sin²(x) = 2 - 2cos(2x)

J'injecte dans l'équation
4 sin²(x) +1 =4 sin²(3x/2)

2 - 2cos(2x) + 1 = 2 - 2cos(2*3x/2)

1 - 2cos(2x) = -2cos(3x)
cos(2x) - cos(3x) = 1/2

CQFD

[mathafou]

Bonjour,

Personnellement j'ai eu du mal à retrouver plutôt l'équation de départ 4 sin^2x +1 =4 sin ^2(3x/2) !!

la figure clé :

et on écrit que (A'C')^2 = (2B'K)^2
remarquer juste que ABA'C est un losange et donc C'CA' est rectangle en C est la clé du (A'C')^2 (sinon calculs affreux)

Au final l'équation "du 3ème degré" ayant une solution (géométriquement) évidente on la ramène instantanément à une équation du second degré

[dchg41]

Bonjour,

Personnellement j'ai eu du mal à retrouver plutôt l'équation de départ 4 sin^2x +1 =4 sin ^2(3x/2) !!

la figure clé :

et on écrit que (A'C')^2 = (2B'K)^2
remarquer juste que ABA'C est un losange et donc C'CA' est rectangle en C est la clé du (A'C')^2 (sinon calculs affreux)

Au final l'équation "du 3ème degré" ayant une solution (géométriquement) évidente on la ramène instantanément à une équation du second degré

Merci,
J'étais arrivé en ignorant cette astuce à la condition
4x^3 -2x^2-3x+3/2=0
Et non pas à (x-1/2)(4x^2-3)=0.........